§6 Исследования характера поведения функций
1.Условие монотонности функции
Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 на (a,b).
См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была неубывающей ( невозрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b).
Доказательство. Необходимость
далее к перейти пределу.
Достаточность. Если x<x, то по теореме Лагранжа f(x)-f(x)=f()(x-x) откуда и следует требуемая монотонность.
Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [,][a,b], на котором f(x)0.
Доказательство. Необходимость.
Достаточность.
Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на (a,b) функции f(x) условие f(x)>0 ( f(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание ( убывание ).
2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Опр. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)f(x0).
Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).
Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.
Экстремум строгий: : в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум.
Теорема. ( Необходимый условие экстремума )
Если x0 – точка экстремума функции f и существует f(x0), то f(x0)=0.
Доказательство. Теорема Ферма.
Определение. Точка, в которой f(x0)=0 называется стационарной точкой.
Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.
Пример. f(x)=x3.
Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )
f непрерывная в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка экстремума ( строгого ), причем
производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,
производная меняет знак с плюса на минуса, то это максимум.
Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-, x0] и на [x0, x0+].
Замечание. Если f непрерывна в x0 , дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем
f(x)0 на (x0-, x0),
f(x)0 на (x0, x0+),
то в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:
f(x) 0 на (x0-, x0),
f(x) 0 на (x0, x0+).
Пример. |x|.
Теорема ( Второе достаточное условие экстремума )
Пусть x0 – стационарная точка функции f и f(x0)0, тогда, если
f(x0)>0, то в точке строгий минимум
f(x0)<0, то в точке строгий максимум
Доказательство. Пусть f(x0)>0,
Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство
,
обеспечивающее выполнение достаточных
условий для экстремума.
Аналогично для случая f(x0)<0.
Задача. Ящик открытый сверху наибольшего объема
(a-2x)2xmax
f(x)=(a2x-4ax2+4x3)=a2-8ax+12x2
3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
Пусть x0 стационарная точка функции f, f(x) n-раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 причем
f(x0)= f(x0)=…= f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0)0
-
n=2k
f(2k)(x0)>0 min
f(2k)(x0)<0 max
-
n=2k+1
x0 не является точкой экстремума
Пример f(x)
= ch x
+ cos x
-
,
в точке 0
f(x)=sh x –
sin x -
,
f(0)=0
f(x)=ch x – cos x –x2, f(0)=0
f(x)=sh x + sin x –2x, f(0)=0
f(4)(x)=ch x + cos x –2, f(4) (0)=0
f(5)(x)=sh x - sin x, f(5) (0)=0
f(6)(x)=ch x - cos x, f(6) (0)=0
f(7)(x)=sh x + sin x, f(7) (0)=0
f(8)(x)=ch x + cos x, f(8) (0)=2>0 строгий локальный min
4. Выпуклость функции, точки перегиба
Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для x1<x<x2 из [a,b]
f(x1)
(1)
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости.
Теорема ( Достаточное условие выпуклости )
Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.
Доказательство. ax1<x<x2b имеем
Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.
Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )
Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x0, то f(x0)=0.
Доказательство. Противное f(x0)0. По теореме о сохранении знака f(x) сохраняет знак в окрестности точки x0
не меняет знак.
Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )
-
f(x) в U(x0)
-
f меняет знак (f(x0)=0)
Тогда x0 точка перегиба.
Доказательство.
Следствие. f(x0)=0, f(x0)0 x0 – точка перегиба.
Доказательство. f будет монотонной.
5. Асимптоты функций
Определение. f задана для x>c ( x< c)
прямая y=ax+b асимптота ( наклонная ) x+, если
аналогично в -.
Пример.
В дальнейшем рассматривается лишь случай +.
Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f н. и д., чтобы
1)
2)
Пример.
-x+1,+, x=1, -
Вертикальная асимптота
f определена на (a,a+)
x=a
называется вертикальной асимптотой,
если
,
аналогично при x-0.
6. Общая схема построения графиков
1 Область определения. Симметрия ( четность нечетность ). Периодичность.
2 Асимптоты
3 Интервалы монотонности, экстремумы ( таблица )
4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )
Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке
Пример.
Асимптоты y/x1,x
Асимптота y=x-1
Особые точки ( в первом приближении только для первой производной )
0,2,3
|
|
(-,0) |
0 |
(0,2) |
2 |
(2,3) |
3 |
(3,+) |
|
y |
+ |
|
- |
0 |
+ |
|
+ |
|
y |
|
0 |
|
-41/3 |
|
0 |
|
|
y |
- |
|
- |
|
- |
|
+ |
