2.4 Краткие теоретические сведения об оценке точности
получаемых экспериментальных данных
Результатом проведения экспериментальных исследований является совокупность измерений. Результат измерений, т.е. совокупности операций, выполняемых с помощью технического средства, хранящего единицу величины, позволяющего сопоставить измеряемую величину с ее единицей и получить значение величины, должен сопровождаться указанием погрешности, с которой он получен.
Для
оценки получаемых в результате
эксперимента измерений проводится
обработка результатов с помощью
вероятностно-статистических методов
теории вероятностей и математической
статистики. В распоряжении исследователя
всегда находится только часть всех
возможных значений (выборка), которые
может принимать случайная величина при
бесконечном числе испытаний (генеральная
совокупность). По данной выборке с
помощью статистической обработки набора
величин
пытаются как можно точнее описать
характеристики генеральной совокупности.
Предварительная обработка данных начинается с определения, какими типами переменных (признаков) представлены данные. Выделяют три типа переменных:
‑ непрерывные – представлены действительными числами (например, длина или вес);
‑ дискретные – представлены целыми, как правило, положительными числами;
‑ категориальные (например, марка кабеля, тип материала, географический регион). Значения категориальных данных не могут быть положены на числовую прямую.
Очень важным при проведении статистического анализа является выяснение того, на какое распределение более всего подходит полученное экспериментальное распределение случайной величины. В качестве последней в большом количестве экспериментов может выступать, например, погрешность измерений.
Основные положения теории вероятности и математической
статики, описывающие взаимосвязь параметров распределения
с графиком плотности вероятности
Для
характеристики распределений вероятности
применяются следующие параметры:
математическое ожидание
(среднее арифметическое), дисперсия
(разброс)
,
среднеквадратическое отклонение
,
ассиметрия (скошенность)
,
аксцесс (островершинность)
и т.д. Данные характеристики могут быть
определены несколькими способами, в
частности, через центральные моменты
распределения:
,
(2.20)
,
(2.21)
,
(2.22)
,
(2.23)
где
.
(2.24)
При обработке данных научных экспериментов обычно применяются распределения вида постоянного, нормального, логнормального и Вейбулла. Для указанных распределений плотность вероятности определяется функциями:
‑ для постоянного распределения
,
(2.25)
‑ для нормального распределения
,
(2.26)
‑ для логнормального распределения
,
(2.27)
‑ для распределения Вейбулла
.
(2.28)
В
данных соотношениях
‑ интервал изменения случайной
величины
;
‑ коэффициент масштаба,
‑ параметры распределения.
Из
перечисленных выше законов распределения
наиболее изученным и имеющим широкое
применение является нормальный закон.
Нормальное распределение является
пределом для различного вида распределений,
вытекающее из центральной предельной
теоремы: «Для большого числа
случайных величин
с любым законом распределения их сумма
есть случайное число с нормальным
законом распределения».
С помощью данного распределения могут быть описаны, например, случайные погрешности, возникающие при повторных измерениях и отражающие случайную природу исследуемого явления. Кроме того, с помощью данного распределения описывается распределение значений амплитуды в аддитивном белом гауссовском шуме. Данный шум определяет вид мешающего воздействия в канале передачи информации и является наиболее распространенным видом шума, используемым при моделировании систем радиосвязи.
Логнормальный
закон распределения является частным
случаем нормального закона распределения
и связан с последним соотношением
.
(2.29)
Одной из целей обработки результатов экспериментальных исследований является выявление статистических связей, т.е. фактически приближение к тому или иному из законов распределения. Для упрощения данного процесса применяют графическое отображение экспериментальных данных, которые сравниваются с соответствующими графическими зависимостями законов распределения, в частности, с графиками плотности вероятности. Управление параметрами графиков может осуществляться с помощью выбора параметров закона распределения: математического ожидания , среднеквадратического отклонения , ассиметрии (скошенности) , эксцесса (островершинности) .