16. Системы линейных однородных уравнений
Однородной системой линейных уравнении называют систему
у которой все свободные члены уравнений равны нулю.
Теорема 16.1 Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с количеством неизвестных системы.
Однородная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.
Теорема 16.2 Если ранг матрицы А однородной системы Aх=0 меньше числа неизвестных, т.е. rang(A) = r < n, то размерность линейного пространства решений этой системы равна n – r.
Д-во:
Если
ранг rang(A)
= r
< n,
то из n
неизвестных r
являются главными, а n
– r
– свободными. В качестве свободных
выбраны неизвестные 
. Возьмем произвольный ненулевой
определитель d
порядка n
– r:
d=
В результате n – r решений однородной системы Aх=0 получим:
из столбцов ставим матрицу
M=
.
Следовательно, все столбцы матрицы,
линейно независимы.
Покажем,
что любое решение 
системы Aх=0
линейно выражается через решения 
.
Рассмотрим столбцы
столбец
= 
Пусть
Рассмотрим
n-мерный
вектор y
= 
=0
у
имеют нулевые значения. Тогда 
т.е. произвольно взятое решение х системы
Aх=0
линейно выражается через решения
.
Теорема 16.3 Пусть – фундаментальная система решений однородной системы Aх=0 тогда и только тогда, когда он может быть продставлен в виде
,
где 
– некоторые постоянные.
17. Построение системы линейных однородных уравнений по подпространству
18. Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений
Теорема
18.1
Сумма любого решения 
неоднородной системы Ах=b
и любого решения 
приведенной однородной системы Ax=0
является решением неоднородной системы
Ax=b.
Д-во.
В силу равенств A =b и A =0 заключаем, что
A
= A
+ A
= b
+ 0 = b,
это
означает, что столбец 
является решением неоднородной системы
Ax=b.
Теорема
18.2
Разность 
любых двух решений 
и
неоднородной системы Ах=b
является решением ее приведенной системы
Ax=0.
Д-во.
В силу равенств A =b и A =b заключаем, что
A
= A
- A
= b
- b
= 0,
это означает, что столбец является решением однородной системы Ax=0.
Теорема
18.3
Общее уравнение неоднородной системы
Ах=b
можно представить формулой 
= 
, где 
– общее решение приведенной системы
Ax=0,
а 
– какое-либо частное решение неоднородной
системы Ах=b.
Д-во.
В силу теоремы 18.1 любой вектор x, имеющий представление
= , является решением неоднородной системы Ах=b. Пусть x – произвольное решение системы Ах=b. Тогда по теореме 18.2 вектор у = х – х0 и потому х содержится в множестве решений, определяемых формулой = .
Пример.
= (2,0,-1,0) системы
найти общее уравнение этой системы
Решение.
Решая эту систему, получаем общее решение в виде
=
= 
+ 
теперь можем записать общее уравнение неоднородной системы
=
=
+
+ 
19. Определение и простейшие св-ва линейных операторов
Пусть
даны линейные пространства X
и Y
над одним и тем же полем P.
Говорят, что из
пространства
X
в
пространство
Y
действует
оператор
,
если каждому вектору а из Х по какому-либо
правилу ставится в соответствие
определенный вектор а1=
(а) =
а из Y.
Вектор а1
образом
вектора
а, вектор а – прообразом
вектора
а1
при отображении
.
Оператор действующий из из X в Y, называют линейным, если он сумму любых векторов a и b из Х переводит в сумму их образов а1 и b1, а произведение любого вектора а из Х на любое число из P – в произведение образа а1 вектора а на то же число , т.е. если
= 
+ 
= а1
+
b1,
= 
= 
а1
Из определения линейного оператора вытекают следующие утверждения:
1) линейный оператор приводит линейную комбинацию векторов
из Х в линейную комбинацию образов 
этих векторов с теми же коэффициентами,
т.е.
= 
2)
линейный
оператор 
переводит
нулевой вектор 0 из Х в нулевой вектор
01
из Y
Д-во:
3) линейный оператор переводит вектор –а, противоположеный вектору а, в вектор –а1, противоположный вектору а1= a
Д-во:
Теорема
19.1. Пусть
линейный оператор
действует
из линейного пространства Х в линейное
пространство Y
и 
–
базис в Х.
Тогда
оператор
определяется с заданием образов 
векторов базиса
.