17. Автокорреляция: последствия, способы обнаружения, средства устранения.

Автокорреляция – зависимость друг от друга величин соседних наблюдений. Чаще всего встречается в рядах с временными данными.

Виды автокорреляции.

1. истинная (вызывается зависимостью случайного члена от прошлых его значений);

2. ложная (вызывается ошибочной спецификацией модели регрессии).

Модель с автокорреляцией простейшего вида: Пусть имеется уравнение регрессии . Предположим, что соседние случайные возмущения связаны соотношением (авторегрессия первого порядка).

Здесь и - случайные возмущения в моменты t и t-1. - коэффициент авторегрессии, а , - независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с и причём статистически не зависит от для s<t.

Последствия: 1)Истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок коэф. регрессии. 2)Положительная автокорреляция приводит к увеличению дисперсии (ошибок) оценок коэффициентов. 3) Автокорреляция вызывает занижение оценок стандартных ошибок коэф. регрессии.

Последствия*: 1) Оценки коэф. регрессии классическим МНК в случае автокорреляции возмущений также являются несмещёнными и состоятельными. 2)Для преодоления прогнозных значений зависимой переменной у обычный МНК применим и для модели с автокорреляцией возмущений. 3)Результаты, связанные с анализом точности и надёжности модели, оценкой значимости и построением доверительных интервалов её коэф., оказываются непригодными. 4) Оценки коэф. не будут эффективными (дисперсия не минимальна), и при небольших выборках можно получить оценки, существенно отличающиеся от истинных значений.

Обнаружение автокорреляции случ. возмущений (нет ли ошибок в спецификации модели, можно ли содержательно предполагать какой-то порядок автокорреляции возмущений (сезонность, цикличность), рассмотреть графики зависимости объясняющей переменной у от номера наблюдения)

Тесты: 1)Дарбина-Уотсона 2)Бреуша-Годфри 3)Люинга-Бокса

Преодоление: 1)Использовать обобщённый МНК. Преобразовать модель с автокорреляцией к классическому виду. 2)Применить одну из итерационных процедур (Кохрейна-Оркатта и др.) 3)Переопределить переменные (например, перейти к логарифмам) 4) Пересмотреть спецификацию модели. При ложной автокорреляции попытаться перейти к нелинейной регрессии.

18. Тесты Дарбина-Уотсона на выявление автокорреляции.

1. Статистика Д-У предназначена для обнаружения автокорреляции 1-го порядка т.е. проверяется некоррелированность не любых, а только соседних величин. Она основана на изучение остатков уравнения регрессии. Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной значения .

Статистика Д-У не предназначена для обнаружения других видов автокорреляции (второго порядка, сезонной автокорреляции) и не обнаруживает ее.
в модели регрессии должен присутствовать постоянный член. Для регрессии без постоянного члена применение статистики Д-У некорректно.
лаговая зависимая переменная не используется в качестве независимой.

Расчет статистики Д-У

, где (е1,е2,…еn)-остатки уравнения регрессии.

Связь статистики Д-У с коэф автокорреляции

Легко доказать, что DW~=2(1-r1), где r1- выборочный коэффициент корреляции первого порядка(т.е. коэффициент корреляции между соседними наблюдениями). При отсутствии автокорреляции первого порядка выборный коэффициент r1 будет не сильно отличаться от 0, а значение статистики DW будет близко к 2. Если DW близко к нулю - положительная автокорреляция, если к 4-отрицательная.

Тест.

1.провести обычную регрессию и получить остатки

2.приписать рядом столбец этих же остатков, но со сдвигом на 1 и вычислить разности e(t)-e(t-1)

3.вычислить квадраты разностей этих остатков (с лагом 1) и сумму этих квадратов.

4.вычислить статистику DW(отношение полученной суммы к сумме квадратов остатков,т.е. к ESS)

5. по таблице Д-У определить 2 граничных числа dl и du и использовать особое правило для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции: возможны 4 ответа-автокорреляции нет, есть положит автокорреляция, есть отрицательная автокорреляция, не определена.

Правило проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции в тесте Д-У.

Для каждого n, k(число регрессоров), α по таблице критических точек распределения Дарбина-Уотсона определяется 2 «критических» граничных числа dl и du такие, что если наблюдаемое значение статистики DW:

- существует положительная автокорреляция(к 0),