Распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
(29)
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:
(30) Рис. 4. График плотности равномерного распределения
Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале
Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:
(31)
График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.
Рис. 5. График плотности показательного распределения
Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.
Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:
(32)
где m = M(X) , .
При нормальное распределение называется стандартным.
График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.
Рис. 6. График плотности нормального распределения
Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.
Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:
(33)
где – гамма-функция Эйлера.
Основные свойства гамма-функции:
Параметры – любые положительные числа. Гамма-распределение является также распределением Пирсона типа III [3]. При гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром λ, так как Г(1) = 1. Гамма-распределение широко используется в математической статистике. Hа рис. 7 представлены графики плотности гамма-распределения (33) при .
Рис. 7. Графики плотности гамма-распределения
Системы случайных величин
Существенный интерес в математической статистике представляет рассмотрение системы двух и более случайных величин и их статистическая взаимосвязь друг с другом.
По аналогии с рядом распределения одной дискретной величины Х для двух дискретных случайных величин X и Y строится матрица распределения – прямоугольная таблица, в которой записаны все вероятности pi j = P{ X = xi , Y = yj } , i = 1, … , n; j = 1,…, m.
События (или опыты) называются независимыми, если вероятность появления (исхода) каждого из них не зависит от того, какие события (исходы) имели место в других случаях (опытах).
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события: например, {X < а} и {Y < b} или {X = xi} и {Y = yi} и т.д.
В терминах законов распределения справедливо также следующее определение: две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от принятого значения другой.
Совместной функцией распределения системы двух случайных величин ( X, Y ) называется вероятность совместного выполнения неравенств X < х и Y < у :
(34)
Событие означает произведение (совместное выполнение) событий {X < х} и {Y < у}. Геометрической интерпретацией совместной функции распределения F ( x, y) является вероятность попадания случайной точки ( X, Y ) на плоскости внутрь бесконечного квадранта с вершиной в точке (x, y) (заштрихованная область на рис. 8).
Рис. 8. Геометрическая интерпретация совместной функции распределения F(x, y)
Основные свойства совместной функции распределения:
(35)
Здесь
Система двух случайных величин ( X, Y ) называется непрерывной, если ее совместная функция распределения F (x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому аргументу, у которой существует вторая смешанная частная производная . Обе случайные величины X и Y – непрерывны. Тогда функция
(36)
называется совместной плотностью распределения системы двух случайных величин ( X, Y ).
Основные свойства совместной плотности распределения:
(37)
В качестве числовых характеристик системы двух случайных величин X и Y обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков. Порядком момента называется сумма его индексов k + s.
Начальным моментом порядка k + s системы двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения X k на Y s :
(38)
Центральным моментом порядка k + s системы двух случайных величин ( X, Y ) называется математическое ожидание произведения (X–mx )k на (Y–my )s :
(39)
где mx = М (Х), my = М (Y).
Для системы дискретных случайных величин X и Y :
(40)
(41)
где рi j = Р { Х =xi , Y = yj }.
Для системы непрерывных случайных величин X и Y :
(42)
(43)
где f ( x, y ) – совместная плотность распределения случайных величин X и Y.
В инженерных приложениях математической статистики чаще всего используются моменты первого и второго порядков.
Начальные моменты первого порядка
(44)
являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y.
Центральные моменты первого порядка всегда равны нулю:
(45)
Начальные моменты второго порядка:
(46)
Центральные моменты второго порядка:
(47)
Здесь Dx , Dy – дисперсии случайных величин X и Y.
Центральный момент второго порядка называется ковариацией случайных величин X и Y. Обозначим его :
. (48)
Из определения ковариации (48) следует:
(49)
Дисперсия случайной величины является по существу частным случаем ковариации:
(50)
По определению ковариации (48) получим:
(51)
Ковариация двух случайных величин X и Y характеризует степень их зависимости и меру рассеивания вокруг точки . Часто бывает удобно выразить ковариацию в виде:
(52)
Выражение (52) вытекает из определения ковариации (48).
Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y.
Безразмерная величина, характеризующая только зависимость случайных величин X и Y, а не разброс:
(53)
называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y. Этот параметр характеризует степень линейной зависимости случайных
величин X и Y. Для любых двух случайных величин X и Y коэффициент корреляции . Если , то линейная зависимость между X и Y возрастающая, если , то линейная зависимость междуX и Y убывающая, при линейной зависимости между X и Y нет. При случайные величины X и Y называются коррелированными, при – некоррелированными. Отсутствие линейной корреляции не означает отсутствие любой другой зависимости между X и Y. Если имеет место жесткая линейная зависимость Y = aX+ b , то при а > 0 и при а < 0.