51. Моделі розподіленого лагу. Узагальнена модель розподіленого лагу.

Для багатьох економічних процесів типово, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий час або протягом деякого часу. Таке явище називається запізнюванням (затримкою), а проміжок часу, у який спостерігається це запізнювання, – часовим лагом, або просто лагом.

Моделі, у яких досліджуваний показник у момент часу і визначається не лише поточними, а й попередніми значеннями незалежних змінних, називаються дистрибутивно-лаговими:

,

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами лага,

а послідовність  – структурою лага.

Дистрибутивно-лагові моделі, які ще називають моделями розподіленого лага. Задовільно описують економічні процеси лише в стабільних (незмінних) умовах. Необхідність враховувати ще й поточні умови функціонування вимагає застосування узагальнених моделей.

Якщо економетрична модель містить не лише лагові змінні, а й змінні, що безпосередньо впливають на досліджуваний показник (тобто містить й поточні умови функціонування), то така модель називається узагальненою моделлю розподіленого лага:

, (8.3)

Оцінювання параметрів таких рівнянь ускладнюється обмеженнями, що накладаються на коефіцієнти при лагових змінних.

52. Оцінка параметрів лагових моделей. Метод послідовного збільшення кількості лагів.

Для оцінювання параметрів дистрибутивно-лагових моделей звичайно застосовують два можливих підходи: послідовне оцінювання і апріорне оцінювання.

Ідея першого підходу полягає в тому, щоб поступово досліджувати вплив запізнє них змінних на залежну змінну. Другий підхід базується на припущенні, що параметри моделі мають певну закономірність, тобто пов'язані між собою деякими співвідношенням и.

Послідовне оцінювання параметрів виконується так: спочатку будують регресію залежної та незалежної змінних в один і той самий момент часу потім до моделі додають ще одну змінну – незалежну змінну в попередній момент часу, тобто розглядають залежність показника від двох змінних. Далі в регресію вводиться ще одна змінна у момент часу, зсунутий на два попередніх проміжки, і т. д. Кожна з моделей досліджується на адекватність і значущість її параметрів. Процедура закінчується, коли параметри при лагових змінних починають бути статистично незначущими та (або) коефіцієнт хоча б однієї змінної змінює свій знак.

Такий метод хоч і повний, однак має певні недоліки. По-перше, те, що невідомою є максимальна тривалість лага, а це не дає змога передбачити, скільки змінних увійде в модель. По-друге, між послідовними Значеннями змінних здебільшого спостерігається висока кореляція, що породжує проблему мультиколінеарності в моделі. Крім того, через зменшення ступенів свободи в таких моделях оцінки стають дещо непевними, що також знижує їх якість.

53. Перетворення Койка (метод геометричної прогресії).

Пусть модель содержит одну лаговую независимую переменную. Тогда

. (8.7)

Если текущее значение показателя Y зависит также от текущих значений других объясняющих переменных , то модель запишется уравнением

. (8.8)

В случае, когда имеются две лаговые независимые переменные и с длинами лагов s и  соответственно, то

(8.9)

и т.д. Перед нами стоит задача избавиться от мультиколлинеарности между лаговыми объясняющими переменными.

Основная идея здесь заключается в том, чтобы подчинить коэффициенты перед лаговыми переменными некоторому закону распределения, зависящему от небольшого числа параметров. Такое распределение должно позволить оценивать не исходную модель с мультиколлинеарностью, а некоторую другую модель, лишенную проблемы мультиколлинеарности.

Койк (Koyck, 1954) сделал следующее простое предположение: коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии. При этом он считал, что лаг имеет бесконечную длину. Применительно к уравнению (8.7) получаем

. (8.10)

Во многих приложениях естественно считать, что все лаги независимой переменной имеют одинаковую направленность действия на показатель Y. Тогда все коэффициенты при лаговых переменных имеют одинаковый знак и, следовательно,

. (8.11)

В общем случае, очевидно, .

Модель распределенного лага Койка (8.10) зависит всего от трех параметров a₀, а₁ и . Однако пока проблема мультиколлинеарности не устранена. Запишем уравнение (8.10) для периода :

. (8.12)

Умножим обе части этого уравнения на  и вычтем из уравнения (8.10). Получим

. (8.13)

Преобразованная модель Койка (8.13) лишена мультиколлинеарности, присущей исходной модели (8.7). Она содержит три неизвестных параметра a₀, а₁ и . Если положить

, ,

уравнение (8.13) можно переписать в виде

. (8.14)

Модель Койка (8.14) содержит лаговую зависимую переменную.

Более привлекательным является следующий подход. Будем оценивать модель (8.10) при известном . Полагая, например,  равным 0, 0.01, 0.02, … , 0.99, рассчитываем для каждого значения  величину

. (8.15)

Регрессия (8.10) приобретает вид

. (8.16)

Оценивая для всех значений  уравнение (8.16), выбираем такое значение , при котором коэффициент детерминации будет наибольшим.

Следует иметь в виду, что с увеличением s в (8.15) количество уравнений в (8.16) уменьшается. Если выборка небольшого объема, то можно брать или . Если же объем выборки большой, то (8.15) рассчитывается с таким значением s, при котором дальнейшие лаговые значения x не оказывают существенного воздействия на .

Коэффициенты перед лаговыми переменными в (8.7) могут не удовлетворять распределению Койка, Однако мы можем считать, что они ему удовлетворяют, начиная с некоторого лагового параметра. Например, можно выбрать такую модель

. (8.17)

Преобразование Койка в данном случае дает

. (8.18)

Мультиколлинеарность, присутствующая в модели (8.17), в модели (8.18) отсутствует. Если использовать описанный выше алгоритм с перебором значений , то уравнение

(8.19)

может быть оценено обычным МНК.

Аналогично для модели

(8.20)

преобразованное уравнение запишется в виде

. (8.21)