Часть 2. Метод наименьших квадратов.

Задана система точек (узлы интерполяции) x_i , i=1,2,...,N; a  x_i  b, и значения f_i, i = 1,2,....,N. Требуется построить полиномы:

1. 1-ой степени P₁(x)=a₁+a₂x,

2. 2-ой степени P₂(x)=a₁+a₂x+a₃x²,

3. 3-ой степени P₃(x)=a₁+a₂x+a₃x²+a₄x³,

имеющие в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений f_i. Искомыми величинами являются коэффициенты полинома (a_i). Полиномы должны быть самым близким к заданным точкам из всех возможных полиномов, соответствующей степени в смысле МНК, т.е. сумма квадратов отклонений должна быть минимальной.

1. Получить систему нормальных уравнений для каждого полинома.

2. Вычислить коэффициенты a_i .

3. Определить какой из полиномов имеет минимальную сумму квадратов отклонений.

x	-10	-8,3	-6,7	-5	-3	-1,67
Вар.9	-100	-60	-33	-16	-7	-2,08

0	1,67	3,33	5	6,7	8,33	10
0	2,08	6,67	16	33	60,4	100

1. Полином 1-ой степени.

xi	Xi^2	fi	fi xi
0,36	503,7256	0,07	3653,4903

S
13	0,36
0,36	503,7256

S(-1)	0,076924599	-5,49761E-05
	-5,49761E-05	0,001985247

z

0,07

3653,49

a	-0,19546983
	7,253077209

Ф(x)=-0,19547+7,25308x

Сумма квадратов отклонений:

G1=	3541,268153

2. Полином 2-ой степени.

xi	Xi^2	Xi^3	Xi^4	fi	fi xi	fi xi^2
0,36	503,7256	16,148574	35060,3954	0,07	3653,4903	68,652523

S	13	0,36	503,7256
	0,36	503,7256	16,14857
	503,7256	16,14857	35060,3954

S(-1)	0,173528	-4,4091E-05	-0,00249312
	-4,4E-05	0,001985248	-2,8092E-07
	-0,00249	-2,8092E-07	6,43419E-05

z	0,07
	3653,49
	68,65252

a	-0,32009809
	7,253062571
	0,003216379

Ф(х)=-0,32009809+7,253062571*х+0,003216379*х^2

Сумма квадратов отклонений:

G2 =	3541,10737