Analiza korelacji I regresji .

Korelacja jest to współzależność , czyli wzajemne oddziaływanie lub współwystępowanie dwóch zjawisk lub cech tej samej zbiorowości .

Celem analizy współzależności jest stwierdzenie , czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności , jaka jest ich siła , kształt i kierunek.

Współzależność między zmiennymi może być :

1. funkcyjna

2. stochastyczna ( probabilistyczna)

Zależność funkcyjna – określonej wartości jednej zmiennej ( X – niezależnej – objaśniającej ) , odpowiada jedna i tylko jedna wartość drugiej zmiennej ( Y – zależna –objaśniana ). Zależność funkcyjna ( dokładna ) występuje w naukach przyrodniczych , natomiast w naukach społecznych mamy do czynienia z zależnością stochastyczną .

Zależność stochastyczna ( probabilistyczna ) – wraz ze zmianą jednej zmiennej , zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej . Szczególnym przypadkiem tej zależności jest zależność korelacyjna ( statystyczna ) Polega na tym , że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej .

Statystyczny opis współzależności może mieć :

• Formę tabelaryczną ( szeregi lub tablice )

• Graficzną ( diagram korelacyjny )

• Parametryczną w postaci odpowiedniej charakterystyki liczbowej.

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych ( mierzalnych ) można przeprowadzić za pomocą tzw. analizy regresji prostej , która służy do określenia relacji między zmienną zależną i zmienną niezależną ( lub odwrotnie ) .

Korelacja między cechami mierzalnymi nosi nazwę kontyngencji , a tablice prezentujące takie dane noszą nazwę tablic kontyngencyjnych . Dla potrzeb wykazania zależności w tablicach kontygencyjnych stosuje się test niezależności . Test niezależności , znajduje zastosowanie zarówno dla korelacji cech mierzalnych jak i niemierzalnych .

Jeśli zbiorowość jest liczna , to wyniki obserwacji dwóch cech grupujemy w tablicy kombinowanej zwanej tablicą korelacyjną .

Tablica przedstawia rozkład dwuwymiarowy czyli łączy rozkład zbiorowości według dwóch cech .

Y=yj X=xi	y1	y2	…	yj	…	yl	ni .
x1	n11	n12	...	n 1 j	...	n1 l	n 1 .
x2	n21	n22	...	n2 j	...	n 2 l	n 2 .
. . .	. . .	. . .	... ... ...	. . .	... ... ...	. . .	. . .
xi	ni1	ni2	...	nij	...	nil	ni .
. . .	. . .	. . .	... ... ...	. . .	... ... ...	. . .	. . .
xk	nk1	nk 2	...	nk j	...	nk l	nk .
n . j	n . 1	n . 2	...	n . j	...	n . l	n

W boczku tablicy znajdują się warianty cechy X=x_i ( i = 1,2,...,k ), w główce tablicy znajdują się warianty cechy Y=y_j ( j= 1,2, ..., l ). W polach na przecięciu wierszy i kolumn są umieszczone liczebności n_ij , oznaczające liczbę jednostek badanej zbiorowości posiadających i-ty wariant cechy X oraz j-ty wariant cechy Y. Suma liczebności zapisana w ostatnim wierszu ( n _{. j} ) odnosi się do wariantów cechy Y , natomiast suma w ostatniej kolumnie ( n i . ) dotyczy wariantów cechy X.

Zachodzi równość : , gdzie oznacza ogólną liczebność badanej zbiorowości .

W tablicy korelacyjnej wyróżniamy rozkłady brzegowe i rozkłady warunkowe.

Rozkłady brzegowe pokazują rozłożenie obserwacji ( liczebności ) oddzielnie dla każdej z obu cech . W ostatniej kolumnie znajduje się rozkład brzegowy zmiennej X , natomiast w ostatnim wierszu – rozkład brzegowy zmiennej Y. Podstawowymi charakterystykami tych rozkładów są średnie arytmetyczne i wariancje , które obliczamy jako parametry ważone według wzorów :

,

,

Rozkłady warunkowe pokazują rozłożenie liczebności przy wartościach jednej cechy pod warunkiem , że druga przyjmie określoną wartość . W poszczególnych kolumnach mieszczą się zatem rozkłady warunkowe cechy X , co zapisujemy X ( Y = y_j ), natomiast w poszczególnych wierszach znajdują się rozkłady warunkowe Y , czyli Y ( X = x_i ).

Średnie i wariancje rozkładów warunkowych X ( Y = y_j ) obliczamy dla poszczególnych kolumn ( j= 1, 2 ,..., l ) jako :

gdzie :

- wartość cechy X lub środki przedziałów

- liczebności zawarte w j-tej kolumnie

Średnie i wariancje rozkładów warunkowych Y ( X = x_i ) obliczamy dla poszczególnych wierszy ( i=1,2,...,k ) jako :

gdzie : - wartości cechy Y lub środki przedziałów ;

- liczebności zawarte w i- tym wierszu

Średnie i wariancje rozkładów warunkowych pozwalają określić rodzaj związku między badanymi zmiennymi. Rodzaje związku między zmiennymi to :

• Niezależność stochastyczna między zmienny istnieje wtedy , gdy zmieniającym się wartościom jednej cechy towarzyszą takie same rozkłady warunkowe drugiej cechy , co wyraża się równością parametrów rozkładów warunkowych cechy X i cechy Y.

• Związek stochastyczny między zmiennymi istnieje wtedy , gdy zmieniającym się wartością jednej cechy towarzyszą istotnie różne rozkłady warunkowe drugiej cechy .

• Związek korelacyjny ( statystyczny ),– związek korelacyjny istnieje , jeżeli zmieniającym się wartościom jednej cechy towarzyszą zmiany średnich warunkowych drugiej.

Jeżeli zmiany te mają zgodny kierunek , tzn. rosnącym wartościom jednej cechy odpowiada wzrost średnich warunkowych drugiej cechy , mamy do czynienia z korelacją dodatnią , natomiast gdy rosnącym wartościom cechy odpowiadają malejące średnie warunkowe drugiej cechy , mówimy o korelacji ujemnej.

Przykład 1. W zbiorowości studentów II roku kierunku Informatyka i Ekonometria AE w Katowicach , którzy przystąpili do egzaminu ze statystyki w czerwcu 2001 roku i odnotowano dwie cechy :

1. ocenę na egzaminie ze statystyki

2. liczbę punktów otrzymanych na egzaminie z matematyki