2. Деление многочленов. Теорема о делении с остатком. Свойства делимости многочленов.
Многочлен
называется делителем
многочлена
,
если существует такой многочлен
,
что
.
Теорема
о делении с остатком.
Для любых двух многочленов
и
существуют
и
, такие что:
,
при этом степень
строго меньше степени
.
Многочлены
и
определяются однозначно для
и
.
Докажем
вторую часть теоремы:
Пусть существуют такие
и
,
для которых выполняется
.
Тогда
Свойства
делимости многочленов
:
Многочлены и одновременно делятся друг на друга, когда
Всякий делитель одного из многочленов и
является делителем и другого многочлена.
3. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Эвклида для нахождения наибольшего общего делителя
Многочлены и называются взаимно простыми, если их НОД равен единице.
Многочлен
называется НОД
многочленов
и
, если он является общим делителем и
сам делится на любой другой общий
делитель.
Алгоритм Эвклида:
НОД
…..
НОД
Доказательство (по определению):
(снизу вверх)
…
(сверху вниз)
Пусть
…
НОД многочленов определен лишь с точностью до многочленов нулевой степени.
6. Понятие кратного корня многочлена. Производная многочлена. Связь между корнями многочлена и его производной.
Корень многочлена имеет кратность К если f(x )/(f-c)k и не делится на (x +1)k+1, если К=1,то с-
простой корень. Многочлен f(x ) степени n называется многочленом n-1 степени.
_ f’(x )= n*A0x n-1+(n-1)A1x n-2+…+2A(n-2)x +A(n-1)
_f’’(x ) =(f’(x ))’ n-я производная
_f(n)(x )= n!A0
_f(n+1)(x )=0
Теорема: Если с является корнем кратности k многочлена f(x ) то при k>1 с является корнем кратности k-1, его производной f’(x ). Если k = 1, то число с не является корнем f’(x ).
7. Основная теорема алгебры и следствие из нее.
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.
Следствие.
Всякий многочлен степени
с любыми числовыми коэффициентами
имеет на множестве комплексных чисел
ровно
корней с учетом их кратности.
Доказательство:
по теореме алгебры
имеет хотя бы один корень
(по теореме Безу)
Пусть
4. Неприводимые многочлены. Свойства неприводимых многочленов. Теоремы про разложение многочленов на неприводимые множители.
приводим
в числовой системе
,
если он может быть разложен в этой
системе в произведение двух множителей,
степени которых меньше
.
неприводим, если в любом разложении вида (1) один многочлен имеет степень 0, другой – 1.
Некоторые свойства неприводимых многочленов:
Всякий многочлен первой степени неприводим.
Если
неприводим, то неприводимым будет и
Если – произвольный многочлен, - неприводимый, то, либо
,
либо они взаимно простые.
Доказательство:
НОД
неприводим
Теорема 1: Всякий многочлен степени , с коэффициентами из числового множества разлагается в произведение неприводимых множителей.
Доказательство:
Если
неприводим, то теорема доказана. Если
- приводим, то
,
если
и
– неприводимы,
то теорема доказана. Если хотя бы один
из них приводим, то раскладываем дальше
и т.д. за
шагов придем
к результату.
Теорема
2: Всякий
многочлен разлагается на неприводимые
множители однозначно, с точностью до
множителей нулевой степени.
Если
встречается
раз, то он называется -кратным множителем,
если он встречается один раз, то
называется простым множителем.
Пусть
раз;
(2)
Если даны разложения многочленов вида (2), то НОД этих многочленов равен произведению множителей