Введение.
В процессе проектирования глобальной многофункциональной информационно вычислительной сети отраслевого масштаба, охватывающей предприятия отрасли, расположенные в ряде регионов страны, для оценки показателей пропускной способности сети с использованием методов математического моделирования к числу основных задач относится задача сбора и обработки исходных данных для математических моделей сети. В составе исходных данных должны быть определены параметры потоков заявок на обслуживание. Для рассматриваемой проектируемой системы руководство предприятий-пользователей сети представило данные по требуемым объемам информации, которые в течение рабочего дня должны передаваться по определенным направлениям передачи информации в сети и по определенным функциям, выполняемым сетью. Определены были также средние объемы передаваемых файлов по различным направлениям сети и функциям, выполняемым сетью. По каждой функции и направлению сети интенсивность потока заявок определяется формулой:
, (1/сек) (1)
где
V - требуемый объем информации в Кбайт, подлежащий передаче в течение рабочего дня по определенному направлению и функции сети;
Vcp - средний объем передаваемых файлов по определенному направлению и функции сети в Кбайт;
Т - продолжительность рабочего дня (Т = 28800 сек).
В предположении пуассоновского потока заявок в сети интенсивность потока заявок равна параметру потока заявок. Определяемые параметры являются фактически максимальными, поскольку вычислены их требований пользователей, естественно, предъявленных в виде максимального запроса. Если у их использовать в качестве исходных данных для моделей сети,
то примерно в 50 % случаев передаваемые объемы информации превысят требуемые значения. Для того, чтобы получить их этих данных исходные данные для моделирования системы, должно решиться следующее уравнение относительно параметра :
, где (2)
k = [ m Т];[…]— округление до целого числа. Параметр потока заявок , вычисленный путем решения уравнения (2), обеспечивает при имитации потока заявок в течение рабочего дня превышением числом заявок величины К в 1 % случаев.
Соотношение (2) является точным. Левая часть уравнения (2) является функцией распределения вероятностей случайной величину распределенной по закону Пуассона, и изменяется монотонно, относительно параметра . Поэтому для решения уравнения (2) относительно был применен метод последовательных приближений (метод половинного деления), обеспечивающий однозначное решение с заданным числом верных цифр.
В связи с затратой машинного времени целесообразно исследовать возможность использования для практических расчетов приближенной формулы:
где (3)
Приведенная приближенная формула может использоваться при больших значениях «для грубых, ориентировочных расчетов». Возможность использования правой части приближенного равенства (3) в качестве левой части уравнения (2) и получения при этом решения уравнения (2) с заданным числом верных цифр не исследована. Таким образом, область возможного использования соотношения (3) в рамках рассматриваемой научно-технической задачи не определена. В дальнейшем уравнение (2) будет именоваться точным соотношением, а приближенным соотношением будем именовать уравнение (2), когда в качестве левой его части использована правая часть уравнения (3).
2. Постановка задачи на исследование.
При заданных величинах Т и Р (Т>0, 0<Р<1, Р - правая часть уравнения (2), где для решения изложенной научно-технической задачи оно заданно равным 0, 99) разработать алгоритм и программу для ПЭВМ решения уравнения (2) относительно параметра с заданным числом верных цифр (s) в результате и при практических затратах машинного времени.
Приближенное число может быть представлена в следующем виде:
,
где
- i-я значащая цифра (в числе значащих цифр не включаются предшествующие нули; | |>0);
r - порядок первой значащей цифры;
s - число значащих цифр в ,
s значащих цифр в являются верными, если выполнено неравенство:
,
где
| | - абсолютное значение погрешности числа
| | = | - |, где - точное значение величины, характеризуемой приближенным числом .
3. Результаты исследовательских расчетов.
Д
ъ>
ля решения точного соотношения, как уже упоминалось, применен метод последовательных приближений (метод половинного деления). На первом шаге величина делится пополам, и результат подставляется в левую часть соотношения (2) в качестве параметра . Если при этом левая часть соотношения (2) оказывается меньше правой, то для последующего деления пополам на следующем шаге берется интервал (0, /2). Если же левая часть соотношения оказывается больше правой, то для после- дующего деления пополам выбирается интервал ( /2, .Подобная процедура осуществляется на всех последующих шагах расчета, до тех пор, пока у выбранного на следующем шаге интервала( ) абсолютная разность границ не обеспечит выполнения неравенства:
| |<0,5 .
Округленная до s значащих цифр величина является результатом расчета, который обозначим через , с s верными значащими цифрами. Путем элементарных преобразований приближенного соотношения получена следующая расчетная формула:
} (4)
где
tp - квантиль нормального распределения вероятностей N(0, 1) для уровня вероятности Р (в нашем случае Р=0,99).
При выводе формулы использовалось естественное условие . Результат расчета по формуле (4) в дальнейшем будем обозначать
Порядок пересчета совокупности параметров { } в исходные данные для моделирования должен предусматривать пересчет, начиная с наименьшего значения затем т.д. до (r - общее число параметров). Пересчет должен вестись с использованием точного соотношения, обеспечивающим определение соответствующих величин , и приближенной формулы вплоть до , и достигается равенство заданного числа s первых цифр. При пересчете величин в качестве результата должны выдаваться соответствующие величины . При пересчете величин должна использоваться только приближенная формула и в качестве результатов должны выдаваться соответствующие величины
Предложенный порядок расчета предполагает справедливость следующего утверждения: При число совпадающих
первых значащих соответствующих цифр в величинах и неограниченно (вплоть до бесконечности) ступенчато возрастает при монотонном характере этого возрастания. Сформулированное утверждение нуждается в обосновании. Из следует, что и .
Непосредственно из формулы (4) следует при монотонном характере изменения . Из точного соотношения
(2) следует, что при любом значении при стремлении его к бесконечности соответствующее значение величины К продолжает оставаться квантилью распределения Пуассона с фиксированным уровнем вероятности Р (Р = 0,99). Квантиль при фиксированном уровне вероятности может стремиться к бесконечности только тогда, когда математическое ожидание и дисперсия распределения, т.е. произведение • Т стремиться к бесконечности, причем монотонно по отношению к величине К. Поскольку Т есть величина фиксированная, то имеем: .
В соответствии с известным утверждением о том, что при распределение Пуассона асимптотически нормально, причем безотносительно к величине К, должно выполняться следующее соотношение:
. (5)
Отметим, что отношение квантили распределения Пуассона К с уровнем вероятности Р к квантили ненормированного и нецентрированного распределения К+0,5 с тем же уровнем вероятности Р монотонно стремиться к единице:
.
Квантили при фиксированном Р связанны монотонной функциональной зависимостью с параметрами распределений вероятностей. Поэтому отношение / из соотношения (5) должно характеризоваться монотонным, (хотя и ступенчатым) характером изменения при стремлении к пределу. Из соотношения (5) непосредственно следует соотношение для относительной погрешности приближенной формулы:
. (6)
П
А„,
ричем относительная погрешность характеризуется монотонным характером ступенчатого изменения при стремлении к пределу. Соблюдая осторожность следует допустить возможность стремления к бесконечности абсолютной погрешности | при . Тогда из (6) следует, что бесконечно малаявеличина 1/ как и 1/ при есть величина более высокого порядка малости, чем бесконечно малая величина 1/| |. Следовательно при более быстром возрастании и () по сравнению с абсолютной погрешностью возрастание порядка
первых значащих цифр r в числах и и при фиксированном требуемом числе совпадающих первых значащих цифр s в числах и приводит к такому росту допустимой абсолютно погрешности, что она при конечном неизбежно превышает фактическую абсолютную погрешность приближенной формулы: ||< 0,5 . Это выполняется при любом конечном заданном числе s. Конечно для невозрастающей абсолютной погрешности обоснованное утверждение будет заведомо справедливым. Невыполнение изложенных условий при обосновании сформулированного утверждения неизбежно приводит к отрицанию асимптотической нормальности распределения Пуассона исследовательских расчетов.
МИРЭА
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
БАЗОВАЯ КАФЕДРА МОИС
при ФГУП ЦНИИ <<ЦЕНТР>>
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий базовой кафедрой
_____________В.Г.Артюхов
<<___>>___________2012г.