Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
Положительный
ряд можно записать в виде:
где
Предельный признак Даламбера является сле-ем из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Признак
Коши. (радикальный признак) Если
для ряда
с
неотриц-ми членами сущ-ет такое число
q<1,
что для всех достаточно больших n
вып-ся нер-во
,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд
расходится.
Следствие.
Если сущ-ет предел
,
то при <1
ряд сх-ся, а при >1
ряд расходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сх-ти ряда. Проверим вып-е необ-ых условий сх-ти. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
т о, необ-ое усл-е сх-ти не выполняется,
значит, ряд расходится.
Интегральный
признак Коши. Если
(х)
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
[1;),
то ряд (1)
+ (2)
+ …+ (n)
+ … =
и несобственный интеграл
одинаковы в смысле сходимости.
Пример.
Ряд
сх-ся при >1
и расх-ся 1
т.к. соответствующий несобс интеграл
сх-ся при >1
и расх-ся 1.
Ряд
наз-ся общегармоническим
рядом.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если у
знакочередующегося ряда
абсолютные величины ui
убывают
и общий член стремится к нулю
,
то ряд сходится.
Примером
условно сходящегося знакочередующегося
ряда может служить ряд:
Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Степенным
рядом называется
ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем
признак Даламбера:
.
Получаем, что этот
ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных
точках 1 и –1. При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница. При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд). Для
каж степ ряда сущ-ет такое полож число
R,
что при всех х
таких, что
ряд абс-но сх-ся, а при всех
ряд
расх-ся.При этом число R
наз-ся радиусом
сх-ти.Интервал
(-R,R)на-ся
интерв сх-и.
Отметим, что этот интервал м б как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус
сходимости может быть найден по формуле:
Пример.
Найти область сходимости ряда
Находим
радиус сходимости
.
Сл-но,
данный ряд сх-ся при любом зн-и х.
Общий член этого ряда стр-ся к нулю.
Дайте определение ряда Маклорена. Постройте ряд Маклорена функции y = ex
Степенной ряд:
Пусть x=0,
,
,
,
,
…
,
…
называют рядом
Маклорена для ф-ии f(x).
Ф-я
f(x)
= ex
Тогда:
Об-ть сх-ти:
;
,
,Обл
сх-ти:
