- •3. Случайные векторы
- •3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора
- •3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Зависимость и независимость св
- •3.4. Условные законы распределения св
- •3.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух св
- •3.6. Многомерное нормальное распределение
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин
- •4.2. Плотность вероятности монотонной функции непрерывной св. Плотность вероятности линейной функции нормально распределённой св
- •4.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •4.4. Основные свойства математического ожидания
- •4.5. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции
- •5. Предельные теоремы
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6. Случайные процессы
- •6.1. Понятие случайного процесса. Функции и плотности распределения случайного процесса
- •6.2. Математическое ожидание, дисперсия и автокорреляционная функция случайного процесса. Понятие стационарного случайного процесса
- •6.3. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства
3. Случайные векторы
3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора
На практике часто встречаются задачи,
в которых результат опыта описывается
не одним, а двумя или более числовыми
значениями, заранее неизвестными.
Примеры: точка попадания в мишень при
выстреле характеризуется полярными
координатами
или декартовыми координатами
;
осколок, образовавшийся при разрыве
снаряда, характеризуется весом, размером,
начальной скоростью и т.д.; результаты
последовательных измерений меняющейся
величины выражаются n числами.
Подобные примеры приводят к понятию
случайного
вектора.оро
Случайным вектором (или системой случайных величин) называется упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве . Случайный вектор называется дискретным (непрерывным), если соответствующие СВ являются дискретными (непрерывными). Свойства случайного вектора не ограничиваются свойствами отдельных величин: они включают также взаимные связи (зависимости) между СВ.
Рассмотрим дискретный случайный вектор . Пусть и – упорядоченные по возрастанию возможные значения СВ Х и Y соответственно, а , , . Поскольку события , , попарно несовместны и образуют полную группу, то . Тогда под рядом распределения вектора понимается следующая таблица:
Y |
Х |
|||
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
... |
|
Вероятности отдельных значений СВ Х и Y определяются равенствами:
и .
Из этих равенств видно, что зная ряд распределения дискретного случайного вектора , можно найти ряд распределения каждой из СВ Х и Y.
3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора
Пусть – двумерный случайный вектор. Тогда функция называется функцией распределения этого вектора. Она обладает следующими свойствами:
10. .
20. – неубывающая функция по каждому из аргументов.
30. , .
Функции распределения и СВ Х и Y выражаются через следующим образом:
Из приведённых формул видно, что зная функцию распределения вектора , можно найти функцию распределения каждой из СВ Х и Y.
Пусть, далее, – непрерывный случайный вектор, а – его функция распределения. Тогда функция называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) вектора . Она обладает следующими свойствами:
10. .
20. .
30. .
40. Вероятность попадания в двумерную область D произвольного вида вычисляется по формуле (предполагается, что интеграл в правой части равенства существует).
Пусть и – плотности распределения непрерывных СВ Х и Y соответственно. Если известна функция распределения случайного вектора , то
, ,
откуда
, .
Из приведённых формул видно, что зная плотность распределения вектора , можно найти плотность распределения каждой из СВ Х и Y.
Понятия функции и плотности распределения легко обобщаются на случай вектора :
,
.
Задача. Плотность распределения непрерывного случайного вектора задана формулой . Найти вероятность попадания в прямоугольник D, заданный неравенствами , , и функцию распределения .
Решение.
,
.