- •3. Случайные векторы
- •3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора
- •3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Зависимость и независимость св
- •3.4. Условные законы распределения св
- •3.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух св
- •3.6. Многомерное нормальное распределение
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин
- •4.2. Плотность вероятности монотонной функции непрерывной св. Плотность вероятности линейной функции нормально распределённой св
- •4.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •4.4. Основные свойства математического ожидания
- •4.5. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции
- •5. Предельные теоремы
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6. Случайные процессы
- •6.1. Понятие случайного процесса. Функции и плотности распределения случайного процесса
- •6.2. Математическое ожидание, дисперсия и автокорреляционная функция случайного процесса. Понятие стационарного случайного процесса
- •6.3. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства
4.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
Пусть – независимые СВ, распределённые по стандартному нормальному закону. Тогда распределение непрерывной СВ называется распределением “хи-квадрат” (или распределением Пирсона) с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:
При имеет место . Для нахождения из условия при различных n и р составлены таблицы.
Непрерывная СВ , где и СВ Х и независимы, называется дробью Стьюдента с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:
При любом х имеет место . Для нахождения из условия при различных n и р составлены таблицы. При увеличении n распределение СВ неограниченно приближается к стандартному нормальному распределению.
Непрерывная СВ , где СВ и независимы, называется дробью Фишера с степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:
При имеет место . Для нахождения из условия при различных и близких к нулю р составлены таблицы. Из цепочки равенств
следует, что при близких к единице р соответствующее можно найти из условия .
4.4. Основные свойства математического ожидания
10. Если с – константа, то .
Доказательство. Рассматривая константу как дискретную СВ, принимающую единственное возможное значение с вероятностью, равной единице, получим .
20. Если с – константа, а Х – случайная величина, то .
Доказательство. Если Х – дискретная СВ, то
.
Если Х – непрерывная СВ, то
.
30. Для любых двух СВ Х и Y имеет место
.
Доказательство проведём для случая, когда СВ Х и Y являются дискретными. Применяя формулу для математического ожидания функции двух СВ, получим
.
Но и , следовательно,
.
Данное свойство имеет обобщение на случай произвольного числа слагаемых: для СВ по индукции можно получить равенство
.
40. Для любых двух СВ Х и Y имеет место
.
Доказательство. Из определения корреляционного момента и свойств математического ожидания имеем
,
откуда вытекает требуемое равенство.
Из данного свойства следует, что если СВ Х и Y некоррелированы, то . Эта формула имеет обобщение на случай произвольного числа величин: если – независимые СВ, то
.
4.5. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции
10. Если с – константа, то .
Доказательство. По определению дисперсии имеем
.
20. Если с – константа, а Х – случайная величина, то .
Доказательство. По определению дисперсии имеем
.
30. Для любых двух СВ Х и Y имеет место
, .
Доказательство. Покажем справедливость первого из равенств (второе доказывается аналогично).
Пусть , тогда . Вычитая почленно из первого равенства второе, получим , а по определению дисперсии
.
Из данного свойства следует, что если СВ Х и Y некоррелированы, то
.
Формула для дисперсии суммы имеет обобщение на случай произвольного числа величин: если – независимые СВ, то
.
40. Для любых двух СВ Х и Y имеет место .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную СВ и найдём её дисперсию:
.
Дисперсия любой СВ неотрицательна, поэтому . Рассмотрев СВ , аналогично найдём . Из двух полученных неравенств имеем . Разделив обе части последнего неравенства на положительную величину , получим .
50. Если СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью, т.е. , где и , то при и при .
Доказательство. Пусть , тогда
.
Поскольку , то . Отсюда , т.е. при и при .