Оглавление
1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ 3
1.1. Формулировка задания 3
1.2. Алгоритм 3
1.3. Графическое отделение корней в Excel 4
1.4. Схема алгоритма 6
1.5. Текст программы 7
1.6. Результаты работы программы 8
2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 9
2.1. Формулировка задания 9
2.2. Алгоритм 9
2.3. Схема алгоритма 11
2.4. Текст программы 12
2.5. Результаты работы программы 13
3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 14
3.1. Формулировка задания 14
3.2. Алгоритм 14
3.3. Схема алгоритма 16
3.4. Текст программы 19
3.5. Результаты работы программы 21
4. ПРОВЕРКА РАБОТЫ ПРОГРАММ 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
ЛИТЕРАТУРА 23
1. Решение нелинейного уравнения
1.1. Формулировка задания
Реализовать программу на языкеQ-Basic, которая вычисляет корень уравнения
x =3*cos(x) или y=3*cos(x)-x,
методом половинного деления.
1.2. Алгоритм
Многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.
Всякое значение v, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что: f(v)=0, называется корнем уравнения f(x)=0 или нулём функции f(x).
Решить уравнение f(x)=0 итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.
Пусть дано уравнение f(x)=0, где:
Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) * f(b) < 0).
Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Условия 1 и 2 гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из условия 3 следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.
Метод половинного деления
Метод реализует стратегию постепенного уменьшения отрезка существования корня, используя факт изменения знака функции в окрестности корня.
Алгоритм метода:
Вычислить координату середины отрезка [a,b] x = (a+b)/2 и значение (x в этой точке.
Уменьшить отрезок, отбросив ту его половину, на которой корня нет.
Если знак функции в начале отрезка и в его середине одинаков, то корень находится на второй половине, первую половину можно отбросить, переместив начало отрезка в его середину:
если (a ·(x>0 => x* [x,b] => a=x, иначе x* [a, x] => b=x
Проверить условие завершения вычислений: длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью: b-a ≤ ε ∩ |(x| ≤ ε. Если условие достигнуто, расчет завершен, иначе повторить алгоритм сначала.
Рис. 1.1 Геометрическая иллюстрация метода половинного деления
1.3. Графическое отделение корней в Excel
Произведём процесс отделения корней, который позволит выбрать начальный интервал. Эту работу произведем в табличном процессоре Excel.
В правом столбце зададим значения аргумента на выбранном интервале с выбранным шагом. В левом столбце зададим формулу нелинейного уравнения. Далее построим график: по оси абсцисс откладываются значения аргумента, по оси ординат – значения функции. Пересечение графиком оси Ох позволяет приближенно оценить интервал для искомого корня. Если таких пересечений несколько – следует выбрать интервал вокруг одного из них.
Произведём проверку, имеет ли заданная функция у = 3cos(x)-x корень в интервале [0..1].
Рис. 1.2 График функции y=3*cos(x)-x
Видим, что уравнение имеет один корень на отрезке [0 1.8]. Корень находится между значениями 1.0 и 1.5.