• Годографы отв отраженной волны от плоской границы

Рассмотрим поверхностный годограф ОТВ монотипной отраженной волны. Пусть источник S находится на горизонтальной плоскости наблюдения G (рис. 4.5, а), и отражающая плоскость R имеет истинный угол наклона падения \|Л Расстояние h_s по нормали от источника до отражающей границы называется ее эхо-глубиной в точке S. Скорость распространения сейсмической волны в среде, покрывающей границу, равна v.

Расположим на плоской поверхности G прямоугольную систему координат, совместив ее начало с источником S и направив ось z вниз, а ортогональные оси х и у - произвольно. Найдем время прихода отраженной волны в некоторую точку С(х, у) на плоскости наблюдения G. Опустим из S перпендикуляр на плоскость R, который пересечет последнюю в точке А, и продлим его ниже плоскости R на величину эхо- глубины до точки S (AS = AS* = h_s). Построим плоскость, которая проходит через дистанцию SC перпендикулярно отражающей грани- 146

це R. В этой плоскости, называемой лучевой плоскостью, находятся падающий луч SB и отраженный луч ВС, где В - точка отражения. В этой же плоскости находится точка А нормального отражения, для которой совпадают траектории падающего SA и отраженного AS лучей. Из равенства прямоугольных треугольников SAB и S АВ, а также из равенства углов падения и отражения следует, что SB = S В и S* С есть прямая линия в плоскости лучей. Это означает, что реальный путь пробега волны от источника S до точки В на границе и от нее до приемника С можно заменить таким же по длине фиктивным путем

Рис. 4.5. Поверхностный годограф ОТВ отраженной волны от плоской границы в однородной среде: а - геометрические построения и гиперболоид вращения; б - карта изохрон

пробега волны из точки S* прямо к приемнику С. Точку S* называют мнимым источником. Следовательно, поле времен волны, отраженной от плоской границы, сводится к полю времен прямой волны, исходящей из мнимого источника:

t = -(SB + BC) = -S*C. (4.23)

V V

Изохроны отраженной волны - семейство концентрических полусфер радиусов г = у/ с центром в точке S , поскольку они существуют только в пространстве мевду плоскостями Ли G.

Если х₀, у₀, z₀ - координаты мнимого источника S , связанные соотношением

SS* = 2h_s = yjxl + yt + zl , (4.24)

то уравнение поверхностного годографа отраженной волны имеет вид

t(.x,y) = -^j(x-x₀)²+ (y-y₀f + Zo =

V

= ^yj4hl-2x₀x-2y₀y + x² + y^z . (4.25)

Поверхностный годограф ОТВ отраженной монотипной волны от плоской границы является гиперболоидом вращения, вертикальная ось t которого проходит через мнимый источник S . Здесь находится минимум годографа t(S') = /_mjn, смещенный относительно источника S в направлении восстания отражающей границы на величину

SS'=r₀ = Jx² + y². (4.26)

Карта изохрон отраженной волны на поверхности G (рис. 4.5, в) представляет собой семейство концентрических окружностей радиусов г с центром S', сближающихся по мере увеличения /, поскольку с удалением от S' кажущаяся скорость волны стремится к своему нижнему пределу (v_K —> v).

Из треугольника SS S' найдем горизонтальное г₀ и вертикальное z₀ смещения мнимого источника относительно истинного, а

148

из треугольника SS'S" - компоненты х₀ и j>₀ горизонтального смещения:

r₀ = 2h_s sin \|/, z₀ = 2/ij cos \|/, лг₀ =-r₀cosP, у₀ =-r₀sinP,

юскость, перпендикулярная к отражающей границе R, пересекает ее вдоль прямой EF, которую называют линией отражения. Она составляет с профилем х угол cp_v - кажущийся угол наклона (падения) по этому направлению. Истинный \|/ и кажущийся cp_v углы падения связаны соотношением

(4.28)

Как видно, кажущийся угол падения может находиться в пределах от истинного угла падения, когда профиль ориентирован вкрест простирания, т. e._t по падению драницы (Р = 0), до нуля, когда профиль х ориентирован по ее простиранию (Р = 90°):

(4.29)

Из (4.27) и (4.28) получаем

где <р_у - кажущийся угол падения границы по направлению оси у, перпендикулярной к оси х. Подставляя эти соотношения в (4.25), имеем уравнение поверхностного годографа отраженной волны от плоской границы:

Здесь вводится параметр /₀ («f-нулевое») - время нормального отражения в точке расположения источника, т. е. при нулевой дистанции:

ч1 Щ

t₀ = t_s=t(x,y)\_Xmy=Q=—а-.

Время t₀ играет очень важную роль в методе отраженных волн, поскольку оно прямо отображает эхо-глубину до сейсмической границы. Заслуживает внимания также время /_min минимума годографа, наблюдаемое в точке S',

го _ 2/i_scosi|/ , — — — t(

Время нормального отражения является минимальным временем годографа только при горизонтальной 1^эаниц<Ц\у .= Q),_

Перейдем к линейным годографам отраженной волны от плоской границы и определим продольный годограф вдоль некоторого прямолинейного профиля, которым может служить ось х. В таком случае з О, и из пространственного годографа (4.31) получаем

t(x) = -yj4hj+4h_s(sin<p_x)x+x² =t₀ Il + ^2sin(p* .

v \ t₀v t£v •

В этой формуле угол ср* считается положительным в направлении падения отражающей границы.

Рассматриваемая ситуация изображена в лучевой плоскости на рис. 4.6. Здесь, наряду с геометрическими построениями, аналогич-

Рис. 4.6. Изохроны и продольные годографы ОТВ прямой и отраженной волн при плоской границе в однородной среде

ными рис. 4.5, а, показаны также изохроны прямой (падающей) и отраженной волн. Продольный годограф ОТВ отраженной волны от плоской границы в однородной среде представляет собой гиперболу, симметричную относительно вертикальной оси, проходящей через проекцию мнимого источника на профиль. Минимум годографа смещен от источника S в сторону восстания границы на величину х₀ = -2h_s sincp_v, а нормальное и минимальное времена отражений таковы:

2hc z 2/i_vcos<Pj.

'о=-А ^min=- = —_у ^Yv =f₀cos(p_v, (4.35)

Из сравнения (4.35) с (4.33) видно, что минимальное время линейного годографа в общем случае, когда профиль не проложен вкрест простирания границы, превышает минимальное время пространственного годографа: cosip^ > cosy, поскольку (p_v < \|/.

Если отсчитывать расстояние х вдоль профиля не от начала S, а от точки минимума S", то уравнение годографа (4.34) принимает вид

JT‘ + z‘. (4.36)

v

Отсюда кажущаяся скорость волны

Величина v_K изменяется от <» (при х = 0) до v (при х = <»). В точке S (при х = -х₀) имеем

V„c =-

• stn₉;- (⁴-³⁸)

Обратим внимание на то, что прямолинейные ветви рассмотренного ранее годографа прямой волны (4.21), имеющие v_K = v, являются асимптотами гиперболического годографа отраженной волны (4.36). Если Отражающая граница наклонена, то гШёрбола сдвинута по профилю относительно своих асимптот на величину jc₀.

В произвольной точке профиля С на удалении х от источника эхо- глубина h_c до отражающей границы равна (рис. 4.6):

h_c=h_s+Ah_x = h_s+xsin(f>_x. (4.39)

Используя это соотношение, уравнение (4.34) можно представить в виде

t(x) = -^4h_sh_c+x² ,

выражающем принцип взаимности для отраженной волны: время t(x) не изменится, если поменять местами источник S и приемник С.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. На рис. 4.5 и 4.6 отмечена точка Л/, расположенная на профиле х в середине дистанции SC, т. е. имеющая координату х!2. Эхо-глубина границы в этой точке h_M измеряется перпендикулярным к R отрезком MN, где N - точка нормального отражения на границе в случае источника в М. Как видно, точка N не совпадает с точкой В отражения волны, исходящей из источника S и наблюдаемой в пункте приема С. Эта закономерность весьма существенна: точка нормального отражения для середины дистанции при наклонной границе всегда смещена относительно точки отражения косого луча вниз по падению границы, при- чем - тем больше, чем больше величины дистанции х, угла наклона границы (p_v и ее глубины h_M.

Когда точки наблюдения относительно близки к источнику (х < h_s), уравнение (4.34) можно разложить в ряд по степеням х, представив в параболической аппроксимации:

. ^sin(P „ . ^C0S(P.r _2 . 8Н|2ф_яС08ф* „3 ,

t(X)-t₀ + ^Х+~Г1—^{х +} ТТг ^{х +-}" (4 4П