10) Нормальные напряжения при поперечном изгибе

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin a + x cos a; v = y cos a - x sin a . (3.10) Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим:

Iu + Iv = Ix + Iy = Ir , (3.12)

Где ; Ir - полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0 , при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

(3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид: . (3.14)

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо-менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y_max или z_max) до наиболее удаленной от этой оси точкиWy=Iy/zmax; Wz=Iz/ymax. Размерность моментов сопротивления метры кубические в СИ.Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи-на, определяемая из соотношения:

iz=√Iz/ Fiy=√Iy/F Радиус инерции выражается в м в системе СИ

11) Касательные напряжения при плоском изгибе. (формула Журавского, эпюры)

Рассматривая внутренние силовые факторы и напряжения при плоском поперечном изгибе было установлено, что в материале возникают касательные напряжения, по направлению совпадающие с направлением поперечной силы и являющиеся функцией от поперечной силы. При выводе формулы Журавский ввёл ограничения:

1. Материал находится в упругом состоянии и подчиняется закону Гука.

2. Касательные напряжения имеют одинаковую величину в пределах одного слоя и изменяются по высоте поперечного сечения.

Рассмотрим как деформируется цельные и составные балки.

В ырежем элементарный объём dx и рассмотрим какие силовые факторы возникают:

; ; ; .

Подставляем в уравнение равновесия :

Статический момент отсечной площади поперечного сечения относительно нейтрального слоя.

- формула Журавского,

где Q – поперечная сила, - статический момент отсечённой площади поперечного сечения относительно нейтральной оси, - осевой момент инерции относительно нейтральной оси, b- ширина слоя, которая определяется касательным напряжением.

13)Расчет балок на прочность. Балки равного сопротивления изгибу

   Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.

Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций балок переменного профиля.

   Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее сечение по наибольшему изгибающему моменту, мы получаем излишний запас материала во всех сечениях балки, кроме того, которому соответствует . Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления. Под этим названием подразумевают балки, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и должно быть равно допускаемому.

Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид

и

   Здесь М(х) и W(x) — изгибающий момент и момент сопротивления в любом сечении балки; W(х) для каждого сечения балки должен меняться пропорционально изгибающему моменту.

   Эти условия справедливы и для сечения с наибольшим изгибающим моментом; если обозначить — момент сопротивления балки в сечении с наибольшим изгибающим моментом , то можно написать:

(1)

   Покажем ход вычислений на примере. Рассмотрим балку пролетом l, защемленную концом А и нагруженную на другом конце силой Р (Рис.1). Выберем сечение этой балки в виде прямоугольника; задачу о надлежащем изменении момента сопротивления можно решать, меняя высоту или ширину балки или тот и другой размер вместе.

Рис.1. Расчетная схема балки равного сопротивления

 

   Пусть высота балки будет постоянной , а ширина переменной— . Момент сопротивления в сечении на расстоянии х от свободного конца будет , а изгибающий момент ; момент сопротивления опорного сечения , a наибольший изгибающий момент в опорном сечении . В расчете имеют значения лишь абсолютные величины М(х) и

По формуле (1) получаем: откуда

т. е. ширина меняется по линейному закону в зависимости от х. При ширина равна .

   Вид балки в фасаде и плане показан на Рис.1. Такое очертание балки получается, если учитывать ее прочность только по отношению к нормальным напряжениям; ширина в сечении В обращается в нуль.

   Однако необходимо обеспечить прочность и по отношению к касательным напряжениям. Наименьшая ширина балки, требуемая этим условием, определится из уравнения

или, так как

   Таким образом, исправленное очертание балки предопределяет минимальный размер ширины и утолщение свободного края консоли.