Задача 1.

С целью изучения затрат времени на изготовление одной детали проведено исследование 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:

Таблица 1.1

Затраты времени на производство одной детали, мин.	До 20	20-22	22-24	24-26	26-28	28 и выше
Число деталей	7	14	20	28	18	13

Определите:

1. моду и медиану затрат времени на производство одной детали;

2. дисперсию и коэффициент вариации затрат времени на производство одной детали.

Решение.

В данной задаче первый и последний интервал – открытые. Для того чтобы закрыть их, воспользуемся стандартным приемом. Условно ширина первого открытого интервала принимается равной ширине последующего интервала, а ширина последнего – равной ширине предыдущего интервала:

Таблица 1.2.

Затраты времени на производство одной детали, мин.	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30
Число деталей	7	14	20	28	18	13

Затраты времени необходимо выразить одним числом. За такое число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала:

Таблица 1.3.

Затраты времени на производство одной детали, мин.	19	21	23	25	27	29
Число деталей	7	14	20	28	18	13

Вычислим среднее значение затрат времени на производство одной детали по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где x_i – значение затрат времени на производство одной детали, мин.;

f_i – соответствующее число деталей.

(мин.);

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности.

Значение моды рассчитываются следующим образом:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

‑ частота модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

Для интервального вариационного ряда с равными интервалами модальный интервал, т. е. интервал, содержащий моду, определяется по наибольшей частоте. В нашем случае модальным будет являться интервал 24-26 мин.

(мин.);

Вывод: наибольшее количество деталей производится за 24,9 мин.

Медиана – значение признака у единицы совокупности, который делит ранжированный ряд на две равные части.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

,

где ‑ начальное значение интервала, содержащего медиану;

‑ величина медианного интервала;

‑ сумма частот ряда;

‑ сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

‑ частота медианного интервала.

Вычисление медианы начинается с нахождения интервала, содержащего медиану. Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности:

Таблица 1.4.

Затраты времени на произ-водство одной детали, мин.	Число деталей	Накопленные частоты
18-20	7	7
20-22	14	21
22-24	20	41
24-26	28	69
26-28	18
28-30	13
Итого:	100

Т.е. интервалом, содержащим медиану, является интервал 24-26 мин.

(мин.);

Вывод: половина деталей изготавливается за время, меньше 24,6 мин., а вторая половина – за время больше 24,6 мин.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается по формуле:

;

Промежуточные величины, необходимые для расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.5.

-5,5	30,25	211,75
-3,5	12,25	171,5
-1,5	2,25	45
0,5	0,25	7
2,5	6,25	112,5
4,5	20,25	263,25
Итого:	-	811

;

Дисперсия не имеет единиц измерения и самостоятельно не используется.

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

,

где – среднее квадратическое отклонение.

;

Вывод: время на изготовление одной детали в каждой группе отклоняется от среднего времени для всей совокупности на 11,6%. Если коэффициент вариации не выходит за пределы 33%, то совокупность является однородной. Таким образом, рассматриваемая совокупность – однородна.