Сходимость стационарных итерационных методов

Рассмотрим СЛАУ

, (1)

С невырожденной вещественной матрицей А и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в каноническом виде

(2)

где - задан.

Решение системы (1) будем рассматривать как элемент n-мерного энергетического пространства , порождаемого самосопряженным положительно определенным в H оператором D:

.

Смысл введения энергетического пространства заключается в следующем. Как известно, последовательность элементов Н, сходящаяся в одной норме, сходится и в эквивалентной норме. Поэтому при исследовании сходимости конкретной итерационной схемы удобно выбрать такое энергетическое пространство , в котором операторы итерационной схемы А и В обладали бы заданными свойствам, например были самосопряженными положительно определенными.

Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (2).Погрешность метода на n-ой итерации характеризуется вектором , который согласно (1), (2) удовлетворяет однородному уравнению

. (3)

Говорят, что итерационный (2) метод сходится в энергетическом пространстве , если

.

Т е о р е м а. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, и выполнено условие

. (4)

Тогда итерационный процесс (2) сходится в энергетическом пространстве , т.е.

со скоростью геометрической прогрессии , где .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим для погрешности основное энергетическое тождество. Подставим в (3) в виде

и получим

. (5)

Умножим (5) скалярно на

и, учитывая, что т.е. и

получим основное энергетическое тождество

. (6)

Пусть выполнено условие . Тогда первое слагаемое в (6) не отрицательно и, следовательно, . Поэтому последовательность невозрастающая и ограничена снизу нулем и в силу теоремы Вейерштрасса сходится при .

Докажем теперь, что . Т.к. положительно определенный оператор, то существует такое число , что

.

Поэтому из (6) получим неравенство

. (7)

В силу сходимости последовательности следует существование предела

. (8)

Далее, из уравнения (3) находим

, ,

,

. (9)

Отсюда и из (8) следует, что .

Из (7) и (9) следует, что метод (2) сходится со скоростью геометрической прогрессии

,

где

.

Сходимость конкретных итерационных методов

Метод простой итерации.

,

при .

Таким образом, метод простой итерации сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Метод Зейделя.

.

,

, если .

Метод Зейделя сходится если . Неравенство следует из условия . А у всякой симметричной положительно определенной матрицы диагональные элементы положительны.

Пусть и , следовательно , т.е. . Аналогично все .

Т е о р е м а. (без доказательства). Метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем , если

и - условие диагонального преобладания.

Метод релаксации.

.

,

при .

Метод релаксации сходится при любых если .