- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Интегрируемость непрерывных функций
- •Свойства определенного интеграла (об изменении знака, свойства линейности и аддитивности). Найдите…
- •Определенный интеграл
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •17. Интеграл по симметричному промежутку для четной и нечетной функции
- •18. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •19. Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •20. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения. Объем тела вращения. Вывод формулы.
- •21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства
- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.
- •Линейность.
- •Оценка модуля интеграла.
- •27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
- •28. Полярная система координат и переход к ней под знаком двойного интеграла.
- •34) Необходимый признак сходимости числового ряда (доказать)-
- •37) Лнду (Метод Лагранжа).
- •38) Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
- •Теорема.
- •43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
- •44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
1). Определение первообразной функции, пример. Теорема о множестве первообразных. Понятие неопределенного интеграла. Найти интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство
F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x)и обозначается символом
Таким образом, по определению,
Если существует первообразная для функции на промежутке , то множество первообразных на называется неопределенным интегралом от и обозначается ..
2) Свойства неопределенного интеграла. Формулировка теорем. Одну из теорем, по выбору, докажите. Непосредственное интегрирование. Примеры. Оцените интеграл.
1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению. Действительно
2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е.
3.Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
4.Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций, т.е. .
5.интеграл от дифференциальной функции равен самой функции плюс некоторая константа.
6. Линейное преобразование аргумента подынтегральной функции при-
водит к следующему равенству: f(ax + b) dx =1\a F(ax + b) + C,
где F(x) – первообразная для f(x)..
Теорема 1. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.
Доказательство этой теоремы будет дано далее.
Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F1(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F1(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.
F1(x) - F(x) = C и F1(x) = F(x) + C.
Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
3). 3. Метод подстановки и метод интегрирования по частям. Формулировка, доказательство.
Интегрирование с помощью подстановки
Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствамp ≤ φ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функции f[φ(x)]φ'(x).
В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x) и . Так как F'(z) = f(z), то , чем и доказана теорема.
Доказанную теорему можно формулировать и так: если
то
Отсюда следует
Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл
записывая его в форме
заменяем здесь φ(x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ(x).
Интегрирование по частям
Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или
. (1)
Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается4.Интегрирование рациональных функций. Определения рациональной дроби, правильной и неправильной. Формулировка основной теоремы алгебры и теоремы о разложерациональной дроби
4)
Для интегрирования рациональной
функции
,
где P(x) и Q(x) -
полиномы, используется следующая
последовательность шагов:
Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Рассмотрим указанные шаги более подробно. Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:
где - правильная рациональная дробь. Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где Затем применяются следующие формулы:
Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
|
Пример 1 |
|
Вычислить интеграл . |
5.
Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:
Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.
Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:
;
здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.
Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь
Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим
.
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
Определение. Правильные рациональные дроби вида
(1).
(2). (k-целое положительное число
(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).
(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.
Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:
(1)
(2)
(3)
=
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:
(4)
Произведем преобразования:
Первый интеграл берется подстановкой :
Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде
,
полагая
(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:
.
Преобразуем интеграл:
Интегрируя по частям ,будем иметь
.
Подставляя это выражение в равенство (1), получим
=
= .
В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:
Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.
Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.
Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.
1.Случай.
Корни знаменателя действительны и различны, т. е.
F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:
и тогда
2. Случай.
Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.
Пример 1.
3. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.
Пример 2.Требуется вычислить интеграл
.Разложим подынтегральную дробь на простейшие:
Следовательно,
.
Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.
Приравнивая коэффициенты при , получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом ,
4. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:
В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа.
Пример 3. Требуется вычислить интеграл
.
Решение. Разлагаем дробь на простейшие:
откуда
Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.
Таким образом, получаем
Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;
через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа
через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа
через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.
6) Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Геометрический смысл определённого интеграла (площадь криволинейной трапеции) |
S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x) , снизу – осью ОХ, слева – вертикальной прямой х = а, справа – вертикальной прямой х = b.
|
Физический смысл определённого интеграла (работа переменной силы, путь при неравномерном движении точки, масса неоднородного стержня) |
1. − сила, параллельная оси 0Х и ориентированная в положительном направлении оси 0Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку [a, b]. Работа А силы при этом равна: . 2. − скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки. Путь , пройденный точкой за промежуток времени , при этом равен: . 3. − плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках . Масса m такого стержня равна: . |
7)
Определение определённого интеграла
|
Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на промежутке [a, b], если существует . При этом число называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается так: |
Продолжение 6 вопрос.
8)смотри 7. § Условия интегрируемости функций (классы интегрируемых функций)
Теорема (необходимое условие) |
Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда она ограничена на этом промежутке. |
Примеры. 1. 2. Функция Дирихле
Теорема (1-е достаточное условие) |
Непрерывная на замкнутом промежутке [a, b] функция f(x) интегрируема на этом промежутке. |
Следствие |
Всякая элементарная функция интегрируема на любом промежутке, целиком лежащем в области определения этой функции (так как она непрерывна на этом промежутке). |
Теорема (2-е достаточное условие) |
Кусочно непрерывная функция (т. е. имеющая на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва I рода) интегрируема на этом промежутке. |
Теорема (3-е достаточное условие) |
Монотонная ограниченная на промежутке [a, b] функция интегрируема на этом промежутке. |
Классы интегрируемых функций (формулировки теорем о достаточных условиях интегрируемости функций). Что Вы можете сказать на основании известных Вам теорем о необходимых и достаточных условиях об интегрируемости следующих функций…?
Необходимое условие интегрируемости функции
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Предположим обратное. Допустим, что f (x) является неограниченной на отрезке [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой за счет выбора точек ξ 1, ξ 2,…, ξ n при любом разбиении отрезка [a, b]. Действительно, так как f (x) не ограничена на [a, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x0, x1]. Выберем на остальных частях отрезка точки ξ 2, ξ 3,…, ξ n произвольно и обозначим
Зададим произвольное число М > 0 и возьмем такое ξ 1 на [x0, x1], чтобы
.
Это можно сделать в силу неограниченности функции f (x) на [x0, x1]. Тогда
и ,
т.е. интегральная сумма σ по абсолютной величине может быть больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0, а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции f (x) необходимое, но не является достаточным условием интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0,1]:
Функция Дирихле, очевидно, ограниченна. Однако она не интегрируема на [0,1]. Действительно, если при любом разбиении отрезка [0,1] выбрать рациональные точки ξ i (x i - 1 ≤ ξ i ≤ x i ), то получим
,
а если взять ξ i иррациональным, то получим
.
Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма σ при λ → 0 предела не имеет. Для существования определенного интеграла от некоторой функции f (x) последняя, помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.