Решение

Условимся описывать: строкой 11: выбор черного шара из красной урны и черного шара из черной урны; строкой 12: выбор черного шара из красной урны и белого шара из черной урны; строкой 21: выбор белого шара из красной урны и черного шара из белой урны; строкой 22: выбор белого шара из красной урны и белого шара из белой урны.

Множество строк U = {11,12,21,22} описывает возможные результаты рассматриваемого опыта. Условия В₁ = {11,12}, B₂ = {21, 22} описывают соответственно выбор черного и белого шаров из красной урны. Так как выбор производится наугад, то

Аналогично, вследствие выбора наугад шаров из черной и белой урн, условные вероятности события А = {11,22}, описывающего выбор двух черных или двух белых шаров, равны соответственно:

Из правила умножения вытекает, что элементарная вероятность р, описывающая реализуемость возможных результатов рассматриваемого опыта, имеет значения:

В вероятностной модели, определяемой такими множеством исходов U и элементарной вероятностью р, задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А = {11,21}. По формуле полной вероятности:

Краткое решение. Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β₁ = 1/3, β₂ = 2/3 и условными вероятностями α₁ = 2/5, α₂ = 4/7. По формуле полной вероятности:

18 Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a₁ = 1 черный и а₀ = 2 белых шара, в черной — b₁ = 2 черных и b₀ = 3 белых, в белой — c₁ = 3 черных и с₀ = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова условная вероятность того, что первый шар черный при условии, что последний шар черный?

РЕШЕНИЕ

Задача сводится к вычислению условной вероятности Р_B1 (А) события В₁ = {11,10} при условии А = {11,01}. По формуле Байеса

Формула полной вероятности:

19. В самоанском письменном тексте 67% гласных и 33% согласных букв. Среди букв, следующих непосредственно за гласной, 49% гласных и 51% согласных. Среди букв, следующих непосредственно за согласной, 100% гласных и 0% согласных. Какова вероятность того, что за наугад выбранной буквой самоанского текста непосредственно следует гласная буква?

РЕШЕНИЕ

Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β₁ = 0,67, β₂ = 0,33 и условными вероятностями α₁ = 0,49, α₂ = 1. Искомая вероятность равна β₁α₁ + β₂ α₂ ≈ 0.66.

20. По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1? РЕШЕНИЕ Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = р1, β2 = р0 и условными вероятностями α1 = r10, α2 = r00. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.34.

21. Дано:    Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

X	1	2	4	5
P	0.31	0.1	0.29	0.3

   Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, используя формулы для их определения. Решение:    1) Найдем математическое ожидание M(x)

   2) Найдем дисперсию D(x)

   3) Найдем среднеквадратичное отклонение

28. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при

X= x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:

Y	X
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

29. Каждая буква, входящая в слово «вероятность», выписана на отдельную карточку. Какова вероятность того, что после тщательного перемешивания и вынимания четырех карточек получим слово «ясно»? Решение В подмножествах, которые можно составить из одиннадцати букв по четыре, нас интересуют буквы а их порядок. Итак, n = А⁴₁₁. Для появления слова «ясно»: букву о можно получить двумя способами, т.к в слове «вероятность» две о. Поэтому m = 2. Искомая вероятность P(A)=m/n=2/ А⁴₁₁=2/(11*10*9*8)=2/7920=1/3960