Работа силы:

Элементарная работа силы F приложенная в точке М равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

dA = F_τ ds, где

F_τ – проекция силы на касательную М_τ к траектории точки М, направленная в сторону перемещения этой точки.

ds – модуль элементарного пермещения.

F_τ = Fcosα , где

α - угол между F и М_τ

dA = Fcosα ds

если α острый, то работа +

α = 0, то dA = F_τds

если α тупой, то работа –

α = 180, то dA = - F_τds

если сила направлена перпендикулярно, то dA =0.

Знак работы:

1. работа + , когда F_τ направлена в сторону движения (сила ускоряет движение)

2. работа - , когда F_τ направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение)

выразим скалярное произведение через проекции векторов F и r на координатные оси и учтем, что r_x=x, r_y=y, r_z=z.

|dr| =ds, где

dr – вектор элементарного перемещения точки

dA = F_xdx+F_ydy+F_zdz – это выражение (аналитическое выражение элементарной работы) получим из скалярного произведения двух векторов.

x,y,z – координаты точки приложения силы.

Работа силы на любом перемещении М₀ М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интеграла от элементарной работы:

A =∫ F_τ ds

Если F_τ = const, то A = F_τ М₀М₁

или A = Fcosα М₀М₁

Теорема об изменении кинетической энергии.

W^кин = (mV²)/2

Рассмотрим мат. точку с массой m, перемещающуюся из положения М₀, где она имеет скорость V₀, в положение М₁, где ее скорость V_1.

Проектируя обе его части на касательную М_τ к траектории точки М, направленную в сторону движения получим:

ma_τ=∑ F_{k τ}

a_τ = dv/dt = (dv/ds)(ds/dt)=v(dv/ds) – касательное ускорение

mv(dv/ds) =∑ F_{k τ}

умножим обе части на ds и внесем m под знак диф-ла:

F_{k τ} ds = dA_k , где dA_k – элементарная работа силы F_k.

Получим выражение теоремы об изменении кин. энергии точки в диф-ной форме:

d((mV²)/2) =∑ dA_k

проинтегрировав обе части в точках

М₀ и М₁ получим:

(mV₁ ²)/2 - (mV₀ ²)/2 = ∑ dA_(M0M1)

Теорема: изменение кинет. Энергии точки при некt ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Основные законы динамики. Основные понятия и определения

1закон Н – если на свободную материальную точку не действует сила, то она покоится или равномерно и прямолинейно движется.

Инерциальная система отсчета – это система отсчета, относительно которой изолированная материальная точка (т.е. не взаимодействующая с другими точками) покоится или движется равномерно и прямолинейно.

2закон - сила действующая на материальную точку сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы - mw=F ma=F

3 закон – силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Принцип суперпозиции действия сил – действие на материальную точку произвольной системы N сил F₁…F_n эквивалентно действию одной силы, равной их сумме.

F = ∑F_i

Аксиома связей – всякое несвободное движение материальной точки можно рассматривать как свободное, если освободиться от связей и заменить их реакциями.

Механическая система – это совокупность взаимодействующих материальных точек.

Момент инерции системы относительно данной оси называется скалярная величина J_z, равная сумме произведений масс всех ее точек на квадраты их расстояний до этой оси:

J_z = ∑m_kh²_k

Импульс точки – это вектор p =mV ,

Равный произведению ее массы на скорость.

Импульс мех. системы - P =∑m _kV_k

Основные диф. уравнения динамики точки в векторном виде:

- в проекциях на декартовы оси:

x = f₁(t) ; y = f₂(t) ; z = f₃(t) ;

- на естественные оси:

m(dv/dt) =∑ F_{k τ}

m(V²/ρ) = ∑ F_{k τ}

V = ds/dt

Теорема о движении центра масс системы.

Сложим почленно левые и правые части уравнений движения системы, получим:

∑m_k a_k = ∑ F^e _k + ∑ Fⁱ _k

Преобразуем левую часть равенства.

Из формулы r_c = 1/M *(∑ m_k r_k), где r_k – радиусы – векторы точек, образующих систему.

М=∑ m_k – масса системы

∑ m_k r_k = М r_c

Возьмем 2-ую производную по времени:

∑ m_k (d²r_k /dt²) = M (d²r_c /dt²) или

∑ m_k a_k = М a_c

т.к. ∑ Fⁱ _k=0, то М a_c= ∑ F^e _k

Теорема: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Диф-ные уравнения движения центра масс в проекциях на декартовы оси:

Mx_c= ∑ F^e _kx; My_c= ∑ F^e _ky; Mz_c= ∑ F^e _kz

Закон сохранения центра масс:

1. ∑ F^e _k =0; a_c=0; V_c = const

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему = 0, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.

2. ∑ F^e _kx = 0; x_c=V_cx =const

Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую – нибудь ось = 0, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина const.

Теорема об изменении кинетического момента мех. системы относительно центра:

Предположим, что система мат. точек движется под действием некt системы сил. Выберем некt неподвижный центр О и определим изменение момента количества движения каждой точки относительно этого центра.

dL_io/dt = M^e _io + M^j _io

просуммируем полученные n уравнений:

∑(dL_io/dt) =∑ M^e _io + ∑M^j _io

Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно любого центра = 0.

Преобразуем левую часть равенства dL_io/dt = M^e _io + M^j _io, учитывая что

L_o =∑ L_io

∑(dL_io/dt) = d/dt * ∑ L_io = dL_o/dt, тогда dL_io/dt = M^e _io + M^j _io примет вид:

dL_o/dt =∑ M^e _io= M^e _o

Теорема: производная по времени от кинетического момента мех. системы относительно некt неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.