2.1 Основы теории пограничного слоя
При движении жидкости с большими значениями числа Re wl/, действие сил вязкости проявляется в тонком пристеночном слое - пограничном слое, в поперечном направлении которого скорость изменяется весьма резко. В остальной области течения жидкость можно считать идеальной (невязкой), а течение потенциальным. Это значительно упрощает исследования.
Толщина пограничного (вихревого) слоя обычно мала по сравнению с размерами обтекаемых тел. Так, при продольном обтекании пластины воздухом со скоростью 100 м/с на расстоянии 1 м от передней кромки скорость на поверхности пластины равна нулю (воздух "прилипает" к обтекаемой поверхности), а на расстоянии 15 мм от нее практически равна 100 м/с. Вне пограничного слоя градиенты скорости малы и поэтому вязкость практически не проявляется.
В общем случае при обтекании тел можно выделить три области, рисунок 2.1
Первая - область пристеночного пограничного слоя, где скорость очень резко меняется от нуля на стенке до скорости внешнего потока; влияние вязких сил велико.
Вторая - область вихревого следа содержит приторможенные частицы из зоны 1, унесенные потоком. Это свободная смытая струя, вихревой след.
_____________________
*) Кроме пристеночного слоя между твердой обтекаемой поверхностью и внешним потенциальным потоком, встречаются свободные , с двух сторон окруженные потенциальными потоками слои жидкости с большим поперечным градиентом скорости (затопленные струи, след за обтекаемым телом), где влияние вязкости учитывать необходимо.
Третья область - вне первых двух, в которой жидкость можно считать идеальной, а течение потенциальным.
Рисунок 2.1
2.2 Уравнения пограничного слоя л. Прандтля
На тот факт, что влияние вязкости должно сказываться лишь вблизи обтекаемой стенки, было указано еще Д. М. Менделеевым (1880 г.) в его исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам. Математическая теория пограничного слоя была дана Л. Прандтлем.
При выводе уравнений пограничного слоя продольную (вообще говоря, криволинейную) координату х выбирают вдоль обтекаемой поверхности, а ось у - перпендикулярно к ней. Начало координат обычно удобно выбрать в передней критической точке, где набегающий поток раздваивается. Из - за малой толщины пограничного слоя по сравнению с размерами обтекаемого тела можно пренебречь кривизной поверхности и рассмотреть выбранную систему координат как декартовую [x; y], рисунок 2.2.
Рисунок 2.2 - Ортогональная сетка координат [x, y]
Для установившегося движения вязкой жидкости уравнения Навье - Стокса (1.2) и уравнение непрерывности в случае плоского (двухмерного) потока принимают вид:
wx + wy = - + ( + ),
wx + wy = - + ( + ),
+ = 0.
Учитывая, что внутри пограничного слоя значительные градиенты только продольной составляющей скорости wx, второе из написанных уравнений упрощается:
=0.
Из этого следует важная особенность пограничного слоя: давление внешнего потока передается через пограничный слой без изменений. Можно показать также, что в первом уравнении член весьма мал по сравнению . В итоге получим систему уравнений для пограничного слоя Л. Прандтля:
wx + wy = - + , + = 0. |
} |
(2.1) |
Результаты интегрирования этих гораздо более простых уравнений хорошо совпадают с экспериментальными данными.
Кроме того, следуя идее Л. Прандтля, продольное изменение давления (член - ) можно найти, рассматривая потенциальное течение в области 111 (рисунок 2.1), где справедливо уравнение Бернулли для идеальной жидкости
U2 / 2 + p/ = const. (2.2)
Здесь U - скорость вне пограничного слоя в области 111 у данной точки обтекаемого тела. Дифференцируя последнее равенство по х, получим
U + = 0,
или
- = U .
Учитывая это, перепишем систему уравнений Прандтля (2.1) в виде:
wx + wy = U + , + = 0.
|
} |
(2.3) |
В этих уравнениях распределение скоростей U(x) во внешнем потенциальном потоке на границе пограничного слоя можно получить. решая задачу обтекания тела потоком идеальной жидкости. а затем осуществить "стыковку" этого решения с течением вязкой жидкости в пограничном слое.
Граничные условия для системы уравнений пограничного слоя предполагают, во - первых, равенство нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.
wxy=0 = wyy = 0 (2.4)
из условий непроницаемости стенки и "прилипания" к ней вязкой жидкости.
Во - вторых, "стыковка" на внешней границе пограничного слоя предполагает равенство скорости частиц вязкой жидкости и скорости U(x) внешнего (потенциального) потока идеальной жидкости. Хотя, формально влияние пристеночного торможения жидкости сказывается на любом расстоянии от стенки, так что, строго говоря, это условие записывается в виде
wxy = U(x) (2.5)
и предполагает асимптотический переход к скорости внешнего потока. Однако, с целью упрощения, более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя "конечной толщины ", под которым подразумевают слой жидкости, в котором на расстоянии от стенки происходит изменение скорости от нуля (на стенке) до wx = U(x) (на расстоянии от стенки), при условии плавности такого перехода
wxy = = U(x), y = = 0. (2.51)
В качестве можно, например, принять расстояние от стенки, на котором скорость отличается от скорости внешнего потока на 1%, когда wx(x) y== 0,99U(x).
Расплывчатость такой оценки очевидна. Поэтому используются интегральные, менее наглядные, но более строгие оценки.
Толщина вытеснения (рисунок 2.3)
* = [(U - wx)dy]/U = [1 - wx(y)/U]dy.
Рисунок 2.3 - Поле скоростей в пограничном слое:
- толщина пограничного слоя; * - толщина вытеснения
Интеграл (U - wx)dy представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое , если бы скорость по всему его течению не уменьшалась из - за вязкости, а оставалась бы равной U, и действительным расходом (заштрихованная часть эпюры скоростей справа), т. е. представляет собой уменьшение расхода жидкости в пограничном слое из - за вязкости. Разделив этот интеграл на величину U, получим некоторую величину *, через которую и протекал бы недостающий расход (перекрестная штриховка). На * оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения из - за вязкого торможения.
Аналогичные характеристики можно ввести для импульса и энергии потока:
** = [(wx(y)/U)(1-wx(y)/U)]dy-толщина потери импульса;
0
***= [(wx(y)/U)(1-w2x(y)/U2)]dy-толщина потери энергии.
0