3Адача 2

Требуется определить подъемное усилие Т для подъема в канале прямоугольного щита, с двух сторон которого находится вода. Щит может вращаться вокруг горизонтальной оси m. Задачу следует решить аналитически, построить эпюры давления и найти центры давления для сил суммарных гидростатических давлений. На чертеже показать все силы давления и вес щита, а также координаты точек их приложения (рис. 3 и рис. 3а).

Дано: H₁ = 7,2 м, Н₂ = 3,15 м,

,

угол наклона  = 60°, ширина щита b = 4 м, вес щита G = 3,25 Т. Трением в шарнире можно пренебречь.

Определить: Т.

Рис. 3

Решение

Из теоремы моментов мы знаем, что алгебраическая сумма моментов всех действующих сил относительно какой-либо точки равна нулю; поэтому можем написать следующее уравнение в общем виде:

или в нашем случае:

где точкой моментов является точка «m» на оси вращения.

Найдя числовые значения для Р₁, Р₂, l₁, l₂ G, f, сможем определить величину подъемного усилия Т.

Длину щита можно вычислить по заданной в задаче формуле, зная, что  = 60° и Н₁ = 7,2 м,

Силу гидростатического давления воды слева от щита P₁ определим по следующей формуле (для наклонной плоскости):

где ширина щита b = 4 м,

объемный вес воды  = 1 Т/м³,

высота столба воды слева от щита H₁ = 7,2 м,  = 60°.

Тогда:

Сила Р₂ справа от щита:

Равнодействующая сил гидростатического давления Р будет:

P = P₁ – P₂ = 119,72 – 22,91 = 96,81 Т.

Величины l₁ и l₂, то есть расстояние от низа стенки до центра давления соответствующей силы гидростатического давления воды на щит, определим по следующим формулам:

Плечо силы G может быть определено из уравнения:

Зная теперь все необходимые величины, можно вычислить величину подъемного усилия Т:

Построим теперь эпюры гидростатического давления воды для сил давления воды на щит слева и справа, а также и для их равнодействующей сил, определив графически и аналитически ее центр давления (рис. 3а).

Рис. 3а

S ABC выражает собой величину силы гидростатического давления воды Р₁ действующей на щит слева;

S ДСЕ выражает собой величину силы гидростатического давления воды Р₂, действующей на щит справа;

S трапеции CFLB выражает собой величину равнодействующей силы Р.

Для графического определения точки с, то есть центра давления равнодействующей силы давления воды на щит, находим в начале центр тяжести трапеции, то есть точку О и из нее опускаем перпендикуляр на щит; точка пересечения перпендикуляра со щитом и будет центром давления.

Центр давления равнодействующей силы давления воды на щит можно найти и аналитически. Для этого напишем, пользуясь теоремой Вариньона, уравнение моментов равнодействующей и составляющих ее гидростатических сил относительно точки С (рис. 3):

Откуда:

Ординаты эпюр гидростатического давления, как известно, выражают собой гидростатические напряжения в соответствующих точках щита или стенки, а их площади – силы гидростатического давления воды.

Задача 3

Донное отверстие плотины перекрывается плоским прямоугольным щитом, шарнирно прикрепленным к телу плотины своей верхней кромкой. Определить, какое усилие нужно приложить к тросу для открытия щита при следующих данных: глубина погружения нижней кромки щита H = 3 м, высота щита h = 1 м, ширина щита b = 1,5 м, угол между направлением троса и горизонтом  = 45° (рис. 4).

Рис. 4

Дано: H = 3 м, h = 1,0 м, b = 1,5 ж,  = 45°.

Определить: S.

Решение

Давление воды Р на щит определяем по формуле:

где площадь щита

глубина погружения центра тяжести щита

Стало быть,

Глубину погружения центра давления щита находим по формуле:

где центральный момент инерции площади щита:

Тогда

Усилие для открытия щита определяется из равенства моментов:

откуда

где

Поэтому

Задача 4

Определить давление на стенки и сферическое дно вертикального цилиндрического резервуара, сваренного из пяти поясов листовой стали при высоте каждого пояса h, и рассчитать толщину стенок, если резервуар наполнен водой доверху. Кроме того, начертить эпюры давления на стенки и дно резервуара и графически найти центры дав­ления (рис. 5).

Рис. 5

Дано: внутренний диаметр резервуара D = 9 м, допускаемое напряжение стали на разрыв _z = 1400 кГ/см², h = 1,9 м.

Определить: Р_х, P_z, _i.

Решение

Давление на стенки вертикального цилиндрического резервуара можно определить по формуле:

где , но так как h_s = 5h,

то

поэтому окончательно для Р_х получим:

или

Давление на дно резервуара (очертанием кривизны дна резервуара пренебрегаем) может быть определено по следующей формуле:

но Р₀ = Р_а, где Р_а – сила, обусловленная атмосферным давлением, действует изнутри и снаружи резервуара, взаимно уравновешивается и в расчет не принимается.

Тогда

где G – вес жидкости в резервуаре, то есть

но так как

то

поэтому

или

Толщину стенки вертикального резервуара будем определять по формуле:

где = 2…5 мм – запас на коррозию, 1,10 – запас на сварные швы.

Сначала определим р для каждого пояса, отнеся его к центру тяжести пояса, по формуле:

Зная величины р, найдем теперь толщину стенки резервуара в каждом его поясе:

Полученные размеры толщин листов округляем до стандартных размеров, обеспечивая запас жесткости, и принимаем: для четырех верхних поясов вертикального цилиндрического резервуара прокатный лист толщиной 8 мм; для нижнего пояса вертикального цилиндрического резервуара прокатный лист толщиной 10 мм.

Задача 5

Сферическая крышка, закрывающая круглое отверстие в стенке резервуара, прикреплена к нему двумя болтами (рис. 6). Определить растягивающие усилия, возникающие в каждом из болтов а и b, если глубина погружения центра отверстия h_c = 2 м и диаметр крышки d = 1,0 м.

Рис. 6

Дано: h_c = 2 м, d= 1,0 м.

Определить: N_a и N_B.

Решение

Горизонтальная составляющая равнодействующей давления воды на крышку:

Вертикальная составляющая давления воды на крышку:

При построении тела давления криволинейная поверхность крышки аb разделяется на две части ас и cb. Тело давления асеf для нижней части крышки действует сверху вниз; тело давления bсef для верхней части крышки действует снизу вверх. Общий объем тела дав­ления для крышки определится как разность объемов тел давления для нижней и верхней части крышки и будет равен объему полусферы диаметром d. Общий объем тела давления заштрихован на рисунке сплошными жирными линиями.

Растягивающие усилия, возникающие в болтах, найдем из уравнений равновесия крышки:

(1) (1)

(2)

где т – расстояние от точки а до линии действия горизонтальной составляющей давления воды на крышку:

глубина погружения центра давления

поэтому

n – расстояние от точки а до линии действия вертикальной составляющей гидростатического давления воды на крышку. Из геометрии известно, что для полушара:

Из уравнения равновесия крышки (2) имеем:

Из уравнения равновесия (1):

Задача 6

Определить расход воды Q горизонтального трубопровода, имеющего сужение, при следующих данных: диаметры d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, пьезометрические высоты p₁ /  = 1,2 м, p₂ /  = 0,8 м. Потери напора и неравномерность распределения скоростей в сечениях не учитывать (рис. 7).

Рис. 7

Дано: d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, p₁ /  = 1,2 м, p₂ /  = 0,8 м.

Определить: Q.

Решение

Напишем уравнение Д. Бернулли без учета потерь напора для сечения 1-1 и 2-2, приняв плоскость сравнения, проходящей через ось трубопровода О-О:

так как

Из уравнения неразрывности потока жидкости:

имеем:

После подстановки значения скорости V₁ в уравнение Д. Бернулли получим:

Решив последнее равенство относительно скорости V₁, будем иметь:

a

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.

2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.

3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.

4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.

6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.

9. А.С. Монин , А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.

14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.

15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.

16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.

18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая шко­ла, 1984. -439 с.

38