40. Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. В общем виде ее удобно записать:

Р(∑Ai) = ∑Р(Ai) (2)

Отметим следствия вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Теорема 2: Если события А1, А2, …, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

∑Р(Ai) = 1 (3)

Теорема умножения вероятностей

Введем понятие независимые и зависимые события.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В)

Произведение 2х событий А и B называется С=А*B заключающуяся в одновременном наступлении событий.

Теорема: Вероятность произведения 2х независимых событий А и B равна произведению вероятности этих событий: P(AB)=P(A)P(B)

Теорема: Вероятность наступления 2х зависимых событий А и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: P(AB)=P(A)P(B/A)

Следствие: на основании определения в силу коммутотивного произведения случайных событий. Для независимых: P(AB)=P(BA) и P(A)P(B)=P(B)P(A)

Теорема: вероятность осуществления хотя бы одного из случайных событий А1, A2,..,An – независимых совокупностей равна разности между еденицей и произведением вероятностей событий противоположных:

, где q1q1..qn – вероятности событий

Теорема (сложение совместных событий) Пусть событие А и B совместно. Вероятность суммы совместных событий равно сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

41.Формула полной вероятности, формула Байеса

Теорема: Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2, ….Нn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. В этом случае, вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе

Р(А)=∑Р(Hi)×P(A/Hi)- формула полной вероятности

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, …., Нn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н1), Р(Н2)…. Р(Нn).

Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Нi/А) для каждой гипотезы.

Р(Нi/А) = [Р(Нi)×Р(Нi/A] / [∑Р(Hi)×P(A/Hi)], i = 1, 2, …, n

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

 — вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

Вывод формулы  

Если событие зависит только от причин , то если оно произошло, значит, обязательно произошла какая-то из причин, т.е.

По формуле Байеса

Переносом вправо получаем искомое выражение.