42. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли

Определение: испытание называется независимым относительно события (А), если вероятность появления события (А) в каждом отдельном испытании не зависит от исходов предыдущих испытаний.

В практическом применении теории вероятности имеют место быть следующие выводы, обобщенно называющиеся Схемой Бернулли

1. Число испытаний (n)- конечно

2. Каждое испытание имеет только 2 исхода (А) и (B)

3. Испытание независимо

4. Вероятность P(A)=p появления события (А) в каждом отдельном испытании постоянна и равна 1

Теорема: Если при выполнении независимо повторяющихся испытаний для события (А) выполняются все условия 1-4 схемы Бернулли, то вероятность того, что в (n) испытаниях события (А) произойдет ровно (m) раз- выражается формулой Бернулли:

Число m₀ называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m₁=(n+1)p-1 и m₂=(n+1)p. Если р≠0 и р≠1, то число m₀ можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m₀ ≤ np+p.

43. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона.

Теорема: Если вероятность p=P(A) осуществления некоторого события (А) постоянно, причем 0<p<1, то вероятность того, что в условной схеме Бернулли оно пройдет (m) раз, м.б. найдено при помощи приближенной формулы:

, где q=1-p, ,

Функция Лапласа четная, и ее значение можно найти в справочнике.

Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

,где .

Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел

Тогда получим

44 Случайные величины. Дискретная случайная величина

Случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные

значения: 0, 1, 2, .... 100.

Определение: Величину Х, принимающую в процессе испытания определенное значение Хi число которых счетно и которые можно пронумеровать, называют дискретной или прерывной величиной

Случайную величину Х, называемую непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала и число которого несчетно

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения—соответствующими строчными буквами х, у, г. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2, x3.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числа, которые описывают случайную величину суммарно, называют числовыми характеристиками случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: , где – возможные значения случайной величины , а – соответствующие вероятности. Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу: , причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: . 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: . Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: . Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: .

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: . Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания: . Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: . 

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: .

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность непоявления этого события в одном испытании: .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.