Средняя гармоническая взвешенная

При работе со сгруппированными данными используется средняя гармоническая взвешенная:

где − статистический вес;

Если в предыдущем примере принять, что на предприятиях было произведено разное количество печей при разных общих затратах, то для определения средней себестоимости следует использовать формулу средней гармонической взвешенной.

Пример: Пусть на первом предприятии общие затраты на производство микроволновых печей составили 600 тыс. руб., на втором – 660 тыс. руб., на третьем - 500 тыс. руб.; было произведено, соответственно 150, 220 и 100 единиц продукции.

Средняя себестоимость одной микроволновой печи составила:

Средняя хронологическая

Используется в тех случаях, когда индивидуальные значения даны на начало или конец равных периодов.

.

Пример. Определить среднюю численность населения Брянской области за последние пять лет (на начало года)

Таблица 5.3 - среднюю численность населения Брянской области (на начало года)

Годы	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Численность населения, тыс.чел.	1316,1	1346,5	1331,4	1317,6	1308,5	1299,7

Средняя геометрическая

Применяется в тех случаях, когда общий объем усредняемого признака является мультипликативной величиной, т.е. определяется не суммированием, а умножением индивидуальных значений признака.

В социально-экономических исследованиях средняя геометрическая применяется в анализе рядов динамики при определении среднего коэффициента роста, когда задана последовательность относительных величин динамики.

Рассмотрим пример:

В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза по сравнению к предыдущему году, а за второй ещё в 1,5 раза по сравнению к предыдущему. Необходимо определить средний коэффициент роста цены. За два года цена возросла в 3 раза (2·1,5).

Если использовать среднюю арифметическую, то средний коэффициент роста составит за два года рост цены, при таком среднем коэффициенте роста, должен составить 1,75 * 1,75 = 3,0625 раза, что выше реального на 0,625 или на 6,25%;

В действительности средний коэффициент роста следует определить по формуле средней геометрической:

Особый вид средних показателей – структурные средние. Они используются при изучении внутреннего строения рядов распределения значений признака.

Мода (Mo) - наиболее часто встречаемое значение признак в совокупности. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и др.

Медиана (Me) - значение признака у статистической единицы, стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две равные по численности части.

Для дискретных вариационных рядов Mo и Me выбираются в соответствии с определениями: мода - как значение признака с наибольшей частотой\ n_i ; положение медианы при нечетном объеме совокупности определяется ее номером , где N – объем статистической совокупности. При четном объеме ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Мода определяется следующим образом:

• По максимальному значению частоты определяется интервал, в котором находится значение моды. Он называется модальным.

• Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

a_Мо - ширина модального интервала;

n_Мо , n_Мо-1, n_Мо+1 - соответственно частоты модального, предмодального (предшествующего модальному) и постмодального (следующего за модальным) интервалов.

Для расчета медианы в интервальных рядах используется следующий подход:

• По накопленным частотам находится медианный интервал.

Медианным называется интервал, содержащий центральную единицу.

• Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

a_Ме -ширина медианного интервала;

N – объем статистической совокупности;

N _Ме-1- накопленная частота предмедианного интервала;

n _Ме - частота медианного интервала.

Выборочное статистическое наблюдение

Выборочным называется такое статистическое исследование, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, сформированной на основе положений случайного отбора.

Случайный отбор может быть повторным или бесповторным.

- При повторном отборе статистические единицы, отобранные ранее, возвращаются в генеральную совокупность и могут вновь попасть в выборку.

- При бесповторном отборе единицы не возвращаются обратно в генеральную совокупность, ее численность с каждой единицей сокращается.

При механическом отборе генеральная совокупность предварительно упорядочивается по несущественному для цели исследования признаку (списки избирателей, табельные номера работников, различные другие базы данных). Отбор осуществляется бесповторным способом через равные интервалы. Из каждого интервала в выборку попадает только одна единица.

Простой случайный отбор – заключается не в преднамеренном отборе единиц для исследования, при этом число отобранных единиц определяется исходя из принятой доли выборки. Он проводится при помощи жеребьевки, розыгрышей, лотереи, таблицы случайных чисел.

Расслоенный (стратифицированный, типический) отбор используется при изучении сложных совокупностей, которые можно разбить на несколько качественно однородных групп по существенным для целей исследования признакам. Внутри каждой группы проводится собственно-случайный или механический отбор. Полученные группы по численности единиц, как правило, не равны между собой, поэтому отбор единиц осуществляется пропорционально объему группы, т. е. количество отбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу данной группы по числу единиц в генеральной совокупности.

Серийная (гнездовая) выборка применяется в тех случаях, когда единицы статистической совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться, например, упаковки с определенным количеством готовой продукции. Для отбора серий применяют либо собственно-случайную, либо механическую выборку. Наблюдению подвергаются все единицы отобранной серии.

В общем случае под ошибкой выборки понимают объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности.

, где ,

х_i – вариант (значение варьирующего признака)

f_i – частота, вес

N – объем генеральной совокупности ( = сумме f_i)

Рассмотрим пример: Даны две 10-ти процентные выборки успеваемости студентов

Таблица 7.1 – Исходные данные

Оценка	Число студентов
	Генеральная совокупность	1-я выборка	2-я выборка
2	100	9	12
3	300	27	29
4	520	54	52
5	80	10	7
Итого:	1000	100	100

Рассчитаем ошибку выборки.

1. Средний балл рассчитываем по средней арифметической взвешенной:

По генеральной совокупности:

а) =

По выборочным совокупностям:

б) =

в) = 3,54

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности и будет случайной ошибкой репрезентативности:

= 3,58 - 3,65 = -0,07

= 3,58 - 3,54 = +0,04

Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью вероятности, называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки является максимально возможной при данной вероятности ошибкой. Это означает, что с заданной вероятностью гарантируется, что ошибка любой выборки не превысит предельную ошибку. Такая вероятность называется доверительной.

Формулы ошибок простой случайной выборки

Виды ошибок	Способ отбора единиц
	повторный	бесповторный
Средняя ошибка : для средней
Для доли
Предельная ошибка : для средней
Для доли

t – коэффициент доверия, значения которого определяются доверительной вероятностью F(t) .

Значения коэффициента доверия t задаются в таблицах нормального распределения вероятностей. Чаще всего используются следующие сочетания:

t	F(t)
1	0,683
1,5	0,866
2	0,954
2,5	0,988
3	0,997
3,5	0,999

Так, если t = 1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что расхождение между выборочными характеристиками и параметрами генеральной совокупности не превысит одной средней ошибки.

Зная величину предельной ошибки выборки, можно рассчитать интервалы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности:

Пределы, в которых с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, называют доверительными интервалами, а вероятность F(t) – доверительной вероятностью. Чем выше значение ошибки выборки , тем больше величина доверительного интервала и, следовательно, ниже точность оценки.

Численность выборки – один из факторов, влияющих на величину ее ошибки: чем она больше, тем меньше ошибка. С другой стороны, с объемом выборки связаны затраты на проведение исследования: чем она больше, тем больше затраты.

Таблица 5.2 – Формулы определения численности выборки при разных методах отбора

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно - случайная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типичная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

Задача

При оценке спроса на товар А было проведено пятипроцентное бесповторное обследование регионального рынка. При этом было выяснено, что в 90 из 100 обследованных семей данный товар потребляется. В среднем каждая из обследованных семей потребляла 5 единиц товара ( = 5) при стандартном отклонении 0,5 единицы ( =0,5 ед.).

С вероятностью p = 0,954 необходимо установить долю семей, потребляющих данный товар и среднее его потребление (спрос).

Для получения статистических оценок параметров генеральной совокупности выполним следующие процедуры:

1.Определим характеристики выборочной совокупности:

- выборочную долю (удельный вес семей в выборке, потребляющих товар А):

- выборочную среднюю (средний объем потребления товара А одной семьей в выборке): = 5 единиц.

2.Определим предельные ошибки выборки:

для доли

где

для средней

3. Рассчитаем доверительные интервалы характеристик генеральной совокупности:

для доли -

0,9-0,059 ≤ P ≤ 0,9+0,059,

0,841≤ P ≤ 0,959;

для средней –

5-0,1≤ ≤5+0,1,

4,9 ≤ ≤5,1.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля семей потребляющих данный товар не меньше 84,1%, но не более 95,9%, а среднее потребление товара в семьях находится в пределах от 4,9 до 5,1 единиц. На основании проведенных расчетов можно определить границы потребления (спроса) товара А на данном рынке:

Таким образом, с вероятностью в 95% можно утверждать, что спрос на товар А не будет ниже 8240 единиц, но и не превысит 9780 единиц.

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений и процессов

Ряды динамики представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенного в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы, кварталы, месяцы, сутки ) или моменты (даты ) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через "У", периоды времени или моменты через " t".

Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени (например за сутки, месяц, год и. т. п.). Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени (на начало месяца, квартала, года и т. п.), то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д.

Особенность интервального ряда состоит в том, что его уровни характеризуют собой суммарный итог какого либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, их можно суммировать, как не содержащие повторного счета.

Особенность моментного ряда состоит в том, что его уровни, как правило, содержат элементы повторного счета, например число вкладов населения, учитываемых за январь, существует и в настоящее время, являясь единицами совокупности в июне. В результате чего суммировать уровни ряда не целесообразно.

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: абсолютный прирост, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

Расчет показателей динамики представлен в таблице 6.1.

Таблица 6.1 – Алгоритм расчета показателей динамики

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост	Yi-Y0	Yi-Yi-1
Коэффициент роста (Кр)	Yi : Y0	Yi : Yi-1
Темп роста (Тр)	(Yi : Y0)×100	(Yi : Yi-1)×100
Коэффициент прироста (Кпр )
Темп прироста (Тпр)
Абсолютное значение одного процента прироста (А)

Пример.

Имеются следующие данные (табл. 8.5) о производстве хлеба и хлебобулочных изделий в регионе за сутки:

Таблица 8.5 – Исходные данные

	2005	2006	2007	2008
Хлеб и хлебобулочные изделия, т	323	271	278	270

Определить показатели динамики производства хлеба и хлебобулочных изделий от года к году и средние за весь анализируемый период.

Решение:

Наименование показателя		Год
		2005	2006	2007	2008
Абсолютный прирост , тыс.шт.	с переменной базой	-
	с постоянной базой	-
Коэффициент роста (Кр)	с переменной базой	-
	с постоянной базой	-
Темп роста, Тр, %	с переменной базой	-
	с постоянной базой	-
Темп прироста, Тпр, %	с переменной базой	-
	с постоянной базой	-
Абсолютное значение 1% прироста (снижения) А, тыс. шт.	с переменной базой	-
	с постоянной базой	-

Средний уровень интервального ряда динамики:

Средний абсолютный прирост:

Средний коэффициент роста:

или

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

Средняя величина абсолютного значения 1% прироста (снижения):

Индексный метод в статистических исследованиях

Индекс – это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях.

В статистике для обозначения индексируемой величины применяется соответствующая символика:

- объем выпуска – q;

- цена – р;

- затраты времени на единицу продукции (трудоемкость) – t;

- выработка продукции в единицу рабочего времени – w;

- заработная плата – f;

- себестоимость – z;

- фондоотдача – Н;

- объем основных производственных фондов – Ф;

- численность работающих –T;

- товарооборот – Q;

- общие затраты (расходы) на производство – С;

- общий фонд оплаты труда – F.

Чтобы различать к какому периоду относится индексируемая величина, принято возле соответствующего символа ставить знаки: 1 – для отчетного периода; 0 – для периодов, с которыми сравниваются отчетные показатели.

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.

Если известно, что изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством так называемых общих (сводных) индексов.

Наиболее типичным общим индексом количественных показателей является индекс физического объема.

Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров отражается агрегатным индексом физического объема I_q , который строится также в предположении первичности изменения количественных показателей (q) и вторичности влияния качественных (р):

Рассчитанный по данной формуле индекс физического объема продукции показывает, во сколько раз изменился физический объем продукции или сколько процентов составляет его уменьшение (рост) в текущем периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса свидетельствует об абсолютном росте или абсолютном уменьшение стоимости выпущенных товаров в текущем периоде по сравнению с базисным периодом в сопоставимых ценах на уровне базисного периода.

Индексы качественных показателей представлены следующими индексами:

Индексы цен

В международной статистической практике в настоящее время наиболее широко применяются формулы индексов цен Ласпейреса (с базисными весами), Пааше (с текущими весами) и Фишера.

В 1871 г. немецким экономистом Е. Ласпейресом предложен индекс цен Ласпейреса, где в качестве соизмерителя используется объем продукции по разновидности в базисном периоде q₀. Индекс Ласпейреса рассчитывается по формуле:

Индекс цен Пааше предложен в 1874 г. немецким экономистом Г. Пааше. В индексе в качестве соизмерителя используется объем продукции соответствующего вида в текущем периоде q₁. Индекс Пааше рассчитывается по формуле:

Учитывая имеющееся несоответствие между индексами Паше и Ласпейреса, И.Фишером в международном сопоставлении предложен «идеальный индекс» (индекс Фишера), как среднегеометрическая величина из двух вышеупомянутых индексов: .

Индекс себестоимости продукции рассчитывается по формуле:

Рассчитанный по данной формуле индекс себестоимости продукции показывает, во сколько раз уменьшился (увеличился) в среднем уровень себестоимости продукции, произведенную в текущем периоде, или сколько процентов составляет его уменьшение (рост) в текущем периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса характеризует экономию (-) или перерасход (+) от изменения себестоимости единицы продукции.

Индекс производительности труда по расходам на единицу продукции рассчитывается по формуле:

В отличие от приведенных выше формул других агрегатных индексов, в этом индексе базисная величина индексируемого показателя (t₀) находится в числителе, а текущая величина (t₁) – в знаменателе. Это происходит потому, что затраты труда на единицу продукции и производительность труда связаны обратной зависимостью (w = 1/t).

Рассчитанный по данной формуле индекс производительности труда показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем общий уровень трудоемкости текущего (отчетного) периода по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса показывает возрастание (+) или уменьшение (-) трудоемкости базисного периода на всю продукцию по сравнению с текущим.

Приведем формулы расчета некоторых наиболее употребительных агрегатных индексов.

1) В форме мультипликативной индексной модели динамика товарооборота будет выражаться соотношениями

где

2) Индекс изменения общей суммы затрат на производство продукции в зависимости от объема производства (q) и затрат на единицу (z):

3) Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих (Т) и заработной платы (f):

4) Индекс изменения объема продукции в связи с изменением численности работающих (Т) и уровня их выработки (w):

5) Индекс изменения объема продукции в связи с изменением объема основных производственных фондов (Ф) и показателя эффективности их использования – фондоотдачи (Н):

Существует две формы средневзвешенных индексов: среднеарифметическая и среднегармоническая. Как правило, средний арифметический индекс применяется при индексации количественных показателей (например, физического объема продукции), а средний гармонический – при индексации качественных показателей (например, цен).

Например, необходимо вычислить общий индекс физического объема продукции I_q , когда по исходным данным известны индивидуальные индексы физического объема ( ) и стоимость продукции каждого вида за базисный период ( ). Тогда общий индекс физического объема продукции можно определить как среднюю арифметическую взвешенную из индивидуальных индексов. Для этого заменяем неизвестное количество продукции отчетного периода ( ) произведением . Тогда общий индекс физического объема продукции приобретет вид:

Если индексируемая величина выражается через индивидуальный индекс в знаменателе, то индекс имеет название среднего гармонического индекса.

Например, известны индивидуальные индексы цен ( ) и стоимость каждого вида продукции за текущий (отчетный) период ( ), но неизвестны данные о цене единицы продукции за базисный период ( ). Чтобы найти средний гармонический индекс цен, цену базисного периода ( ) заменяем тождественным ей соотношением . Вследствие этого индекс цен будет иметь вид:

Пример. Имеются следующие данные:

Вид изделия	Произведено в отчетном периоде, тыс. шт. q	Затраты на 1 изд, чел./час
		в отчетном периоде t1	в базисном периоде t0
А	8	2	2,3
Б	18	1,5	1,8
В	26	0,5	0,55

Индивидуальные индексы производительности труда ( ) составят: по изд.А ; по изд.Б ; по изд.В ;

Общий индекс производительности труда в агрегатной форме составит:

Общий индекс производительности труда как средний из индивидуальных индексов составит:

Так как на динамику средней влияют не только изменения осредняемого признака, но и изменения состава рассматриваемой совокупности, влияние каждого из этих факторов оценивается посредством общих индексов средних величин. Такие индексы образуют индексную систему, которая для качественных показателей состоит из трех элементов: индексов переменного состава ; индексов фиксированного (постоянного) состава ; индексов структурных сдвигов , где х – вид рассматриваемого признака (цена, себестоимость, производительность труда и т.п.).

Индекс переменного состава показывает относительное изменение рассматриваемого среднего уровня признака в целом за счет двух факторов – изменения индексируемого признака и изменения в структуре совокупности:

,

где - средние признаки соответственно в текущем и базисном периодах; - веса признака в сопоставимых периодах.

Индекс фиксированного (постоянного) состава характеризует изменение среднего уровня за счет изменения только индексируемой величины при той же структуре совокупности (соизмерители неизменны):

.

Индекс структурных сдвигов показывает изменение среднего уровня показателя за счет изменений в структуре совокупности при неизменном значении признака:

Формулы для средних индексов подчиняются принципу взаимозависимости, который обеспечивает их сведение в индексную систему: .

Пример.

Имеются данные о выпуске продукции предприятиями отрасли.

Номер предприятия	Выпуск продукции, тыс.шт.		Цена реализации единицы продукции, д.е.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
	q0	q1	p1	p2
1	15	17	47,15	50,25
2	24	25	46,05	47,20
3	18	22	50,00	51,80
4	21	26	51,90	52,90
5	17	16	47,90	46,40
Всего	95	106	х	х

Определите: 1) индексы цен переменного и постоянного состава, структурных сдвигов; 2) абсолютный прирост средней цены, прирост цены в результате изменений самих цен и структурных сдвигов; 3) абсолютный рост стоимостного объема реализации в результате роста средней цены, в том числе в результате изменений цен на отдельных предприятиях и изменения структуры реализованной продукции.

Решение:

1. Вычислим индекс цен переменного состава, который выражает изменение средней цены реализации с учетом двух факторов: как в результате изменения самих цен реализации продукции конкретными предприятиями, так и изменения структуры в реализации продукции, т.е. удельного веса отдельных предприятий в общем объеме реализованной продукции:

Вывод: повышение средней цены реализации единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 2,7% достигнуто за счет изменения, как самих цен, так и в результате изменения структуры реализованной продукции.

Для того чтобы устранить влияние изменения структуры продукции на динамику средней цены реализации, определим для двух рассматриваемых периодов изменения средней цены реализации при той же структуре продукции в текущем периоде. Для этого определим индекс цен фиксированного (постоянного) состава:

.

Вывод: повышение средней цены реализации единицы продукции в текущем периоде по сравнению с базисным за счет только повышения цен на продукцию составляет 2,4%.

С целью сравнения влияния изменения цены по отдельным предприятиям на среднюю цену реализации продукции и определения степени влияния изменения структуры реализованной продукции, определим индекс структурных сдвигов:

Проверка: ; .

2. Сравнение уровней средних цен по абсолютным значениям показывает:

а) общий прирост средней цены составляет

б) прирост цены за счет изменения самих цен

в) прирост цены в результате структурных сдвигов

Вывод: общий прирост средней цены реализации единицы продукции на 1,32 ден.ед. является результатом роста цен на отдельных предприятиях на 1,16 ден.ед. и улучшением структуры реализованной продукции на 0,16 ден.ед.

3. В расчете на всю продукцию текущего периода абсолютный рост стоимости реализованной продукции в результате роста средней цены на 1,32 ден.ед. будет составлять: , в т.ч. в результате изменения цен по отдельным предприятиям и благодаря улучшению структуры реализованной продукции на 551,95 ден.ед. ( ).