78.(46). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.

I. Уравнения с разделяющимися переменными

   Дифференциальное уравнение вида  y' = f (x) g ( y)  или  M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0  называется уравнением с разделяющимися переменными.

   Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

              dx +   dy = 0,

где   dx — дифференциал некоторой функции от x,

 dy — дифференциал некоторой функции от y.

   Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

                dx +     dy = C.

   Частный интеграл, удовлетворяющий условию   = y₀, выражается

                dx +     dy = 0.

   Если работать с уравнением y' = f (x) g ( y), то   = f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

   Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

   Действительно, всякое решение, например y = y₀, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

            M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0,      (5.1)

т.к. N( y₀) = 0 и dy = 0, при подстановке в (5.1) получим тождество 0 = 0.

   Аналогично, любое решение x = x₀ уравнения P(x) = 0 удовлетворяет (5.1), т.к. P( x₀) = 0 и dx = 0.

   Значит решения  y = y₀,  x = x₀ являются интегралами уравнения (5.1), даже если они не содержатся в общем решении. 

II. Уравнения, однородные относительно переменных

   Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n относительно переменных x и y, если при любом допустимом t справедливо тождество f(tx, ty) ≡ tⁿ f (x, y).

   Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно переменных x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевой степени относительно переменных x и y.

   Пусть имеем дифференциальное уравнение y' = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t =   в тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f  1,   , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

   Обозначив f  1,   = φ , получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

              = φ .

79.(7,26). Линейные дифференциальные уравнения. Решения методом замены переменной и методом вариации произвольных постоянных.

Линейные дифференциальные уравнения

   Уравнение вида y' + P(x) y = Q(x), левая часть которого есть линейная функция относительно y и y' , а функции P(x) и Q(x) непрерывны в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

   Уравнение вида y' + P(x) y = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

   Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

              = – P(x) y или  = – P(x) dx.

Проинтегрируем последнее уравнение:

              = –  P(x) dx + C,

            ln y = ln C –  P(x) dx.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

            y = C .

Метод вариации произвольной постоянной.

1. Рассматриваем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0,

его общее решение y = C .

2. Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

            y = C(x) ,      (5.4)

где C(x) — искомая функция от x.

Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y':

            y' = C'(x)  + C(x)  (– P(x))

и, подставив в данное уравнение, получим

            C'(x) = Q(x) .

Интегрированием находим C(x):

            C(x) =  Q(x)  + C.

Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.