80.(43). Уравнение Бернулли. Его решение.

Уравнение Бернулли.

   Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

            y' + p(x)y = q(x)y^m  (m ≠ 0, m ≠ 1).

   Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y^m, разделив на него обе части уравнения. Получим

            y^{– m}y' + p(x)y^{1 – m} = q(x).

   Это уравнение можно переписать в виде

             ( y^{1 – m} )^' + p(x)y^{1 – m} = q(x).

   Введя новую неизвестную функцию z:

            z = y^{1 – m},

придем к уравнению

             z' + p(x)z = q(x),

или

            z' + (1 – m)p(x)z = (1 – m)q(x).

   Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

            y =  .

   Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 < m < 1. 

81.(11). Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.

Дифференциальные уравнения высших порядков: основные понятия, теоремы.

   Геометрическое и механическое истолкование уравнения второго порядка и его решения

   Рассмотрим более подробно вопрос, о геометрическом истолковании уравнения второго порядка и его решения.

   Уравнение второго порядка имеет общий вид

            F (x, y, y ', y '') = 0.      (8.1)

   Его всегда можно переписать так:

              = 0.     (8.2)

   Так как   кривизна кривой y = y(x) в точке (x, y), то из формулы (8.2) видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

   Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой mдвижется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x,  ), зависящей от времени t, положения x и скорости   в момент времениt. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

            m  = F (t, x,  ),      (8.3)

где   есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) в виде

              = f (t, x,  ),      (8.4)

где f =  .

   Всякому решению

            x = x(t)      (8.5)

соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) называют движением, определяемым уравнением (8.5). Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

   Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

            y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ', …, y ^{(n – 1)}).       (8.9)

   Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

   Теорема Пикара. Если правая часть уравнения (8.9) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки (x₀, y₀,  , …,  ) и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные по y, y ', …, y ^{(n – 1)} то оно имеет единственное решение (8.7), удовлетворяющее начальным условиям (8.8).