1 Семестр.

1. Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры.

Гл. 1 Элементы векторной алгебры.

§1 Скалярные и векторные величины.

В науке и технике величины, определяемые только числом называются скалярными (например, Т,m,V,l) в еличины определяемые числом и направлением, называют

в екторными

Определение: Вектором называют направленный отрезок и обозначают

A. B

Начало вектора называют так же точкой его приложения (т.А)

Вектор, который можно перенести ║- но самому себе и приложить к любой точке называется свободным (например, вектор перемещения, скорость поступательного равномерного движения).

Вектор, который можно перенести вдоль прямой его содержащей называют скользящим (вектор равнодействующей нескольких сил)

Если точка приложения вектора строго фиксирована, то вектор называется связным (вектор напряженности электромагнитного поля).

В математике, как правило, рассматриваются свободные вектора.

§2 Основные определения. Длиной вектора или модулем вектора называют длину направленного отрезка представляющего этот вектор и обозначают

Вектор, длина которого равна 0, называют нулевым и обозначают

Вектор, длина которого равна 1, называют единичным.

Определение: Вектора лежащие на одной прямой или на ║-ых прямых называют коллинеарными.

А В

С D M N

-коллинеарные и сонаправленные.

- Коллинеарные и противоположно направлены.

Определение: Вектора, лежащие на одной плоскости или на ║-ых плоскостях, называются компланарными . и .

Определение: Два вектора равны ( ), если:

1. - их длины равны.

2. - коллинеарные и сонаправленные.

Определение: Два вектора и называются противоположными, если:

2. , .

§ 3. Линейные операции над векторами.

3.1. Сложение.

Пусть даны два вектора и .

B

A C

Из произвольной точки А отложим вектор равный вектору (т.е. равной длины и одинакового направления).

И з точки В отложим вектор равный вектору .Вектор называют суммой векторов и и обозначают .

Это правило ∆-ка. Аналогично определяется сумма трех и более векторов .

Свойства операции сложения:

1 . – коммутативное (переместительное).

2. – ассоциативное (сочетательное).

Замечание 1: Построение вектора суммы по правилу параллелограмма.

Замечание 2: Нулевой вектор при сложении векторов играет ту же роль, что и 0 при сложении чисел:

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: