- •1 Семестр.
- •Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры.
- •§1 Скалярные и векторные величины.
- •§2 Основные определения. Длиной вектора или модулем вектора называют длину направленного отрезка представляющего этот вектор и обозначают
- •- Коллинеарные и противоположно направлены.
- •§ 3. Линейные операции над векторами.
- •3.1. Сложение.
- •3.2. Вычитание.
- •3.3. Умножение вектора на число.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •§4 Линейная зависимость векторов. Базис.
- •4.1. Координаты вектора.
- •§5. Прямоугольная система координат.
- •5.1. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора.
- •5.2. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •5.3. Формулы расстояний в координатной форме.
- •Из рисунка видно, что:
- •Запишем вектора в координатной форме
- •А у векторов соответствующие координаты пропорциональны.
- •§6 Скалярное произведение двух векторов.
- •Механический смысл скалярного произведения. Работа постоянной силы, есть число равное скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения .
- •§7 Векторное произведение двух векторов.
- •§8. Смешанное произведение трех векторов.
§8. Смешанное произведение трех векторов.
Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением упорядочнной тройки векторов и называется число равное скалярному произведению вектора на третий вектор .
Обозначают , , .
Геометрические свойства произведения трех векторов:
h
S
10. Объем параллелепипеда построенного на векторах , и равен модулю смешанного
произведения этих векторов.
+V, если - правая тройка.
-V, если - левая тройка.
20. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
- компланарны, значит линейно зависимы, и не образуют базиса.
- не компланарны, линейно не зависимы и не образуют базис.
30. Если , то - правая тройка.
Если , то -левая тройка.
Алгебраические свойства смешанного произведения:
10. Смешанное произведение не изменится если знаки векторного и скалярного умножения
поменять местами:
.
20. Смешанное произведение не изменится от круговой перестановки множителей:
.
30. .
40. .
50. .
Смешанное произведение в прямоугольных координатах.
Пусть даны три вектора:
, тогда:
.
Следствие 1:
.
B
h C
S
A D
Следствие 2: Условием того, что четыре точки лежат в одной плоскости является равенство 0
смешанного произведения:
B
.
A. C
D
Пример 1. В прямоугольном базисе дана треугольная пирамида с вершинами в точках: A(3,5,4),
B (8,7,4), C (5,10,4), D (4,7,8).
Найти длину высоты проведенной из вершины D на грань (ABC).
D
A. B
C
.
.
.
.