26. Напряжёноое состояние в точке. Закон парности

а_а = a cos² а,

т_а = -к- sin 2а

д ля определения напряжений, действующих по сечениям, наклонным к оси растянутого или сжатого стержня. Из этих формул видно, что с изменением наклона площадки, проходящей через какую-либо точку, изменяются и' действующие на ней нормальные σ_а и касательные τ_а напряжения. При этом было выяснено, что наибольшие нормальные имеют место в поперечных сечениях, а наибольшие касательные напряжения — в сечениях, проведенных под углом 45° к оси стержня.

Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Центральное растяжение или сжатие бруса является простейшим видом деформации тела, когда напряженное состояние всех его точек одинаково (однородное напряженное состояние). В общем случае (рис. 67, а) в теле напряженное состояние неоднородно — оно меняется от точки к точке и поэтому по любому сечению т-п этого тела напряжения распределены неравномерно.

В этом случае при изучении напряженного состояния в какой-либо точке К мысленно вырезают в окрестности этой точки параллелепипед со сторонами dx, dy и dz (рис. 67, б). Ввиду малости параллелепипеда можно считать, что

граням, так и по любым его сечениям напряжения считаются распределенными равномерно. Указанные предположения позволяют исследовать закон изменения напряжений по наклонным сечениям элементарного параллелепипеда. Напряжения на гранях параллелепипеда считаются заданными, а напряжения, действующие в его наклонных площадках, определяют с помощью метода сечений.

В дальнейшем увидим, что в любой точке нагруженного тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный так, что все его грани будут свободны от касательных напряжений. При этом различают линейное, плоское объемное напряженные состояния в точке (рис. 68) в зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (или сжати соответственно в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Линейное напряженное состояние, например, испытывают точки при центральном растяжении или сжатии.

На поверхности пластинки, параллель» плоскости, напряжения отсутствуют (а = 0). Так как толщи: пластинки мало, то можно считать, что их нет и внутри пластинки площадках, параллельных этой поверхности.

Выше указывалось, что во всех точках бесконечно малого парал­лелепипеда напряженное состояние считается однородным. Поэтому одноименные напряжения на параллельных гранях параллелепипеда

Рис. 71

Внешняя нормаль

площадки

( рис. 70) показаны численно равными друг другу. Следует обратить внимание на индексы при обозначении напряжений. У касательного напряжения имеется два индекса, например х_гу. Здесь первый индекс показывает, что данное касательное напряжение действует на площадке с нормалью, параллельной оси z, второй индекс обозначает, что вектор касательного напряжения параллелен оси у. У нормального напряжения оба эти индекса совпадают и поэтому ставится лишь один индекс.

Примем следующее правило знаков для напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее совпадает с направлением соответствующей координатной оси, то на этой площадке напряжение т положительно, когда оно совпадает по направлению с соответствующей осью. Если же внешняя нормаль противоположна направлению оси (невидимые грани параллелепи­педа на рис. 70), то направление т положительно тогда, когда оно также противоположно своей координатной оси. Это правило кратко называют правилом внешней нормали. Все напряжения, показанные на рис. 70 в осях г, у, положительны. Для наклонных площадок будем придерживаться того же правила знаков, но знак касательных напряжений будем оценивать относительно наклонных осей г', у' (рис. 71). Заметим, что поворот осей координат на 90° меняет знак касательных напряжений на обратный, что в некоторых случаях необходимо учитывать в дальнейшем.

З АКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Параллелепипед, выделенный из тела (рис. 70), должен находиться равновесии под действием сил, приложенных к его граням. Длины ребер параллелепипеда считаем равными dz, dy, а толщину элемента В направлении, перпендикулярном плоскости zy, примем равной единице. Сила, приложенная к какой-либо грани, равна соответствующему напряжению, умноженному на площадь грани. Очевидно, что нормальные усилия на гранях параллелепипеда взаимно уравновешены. Касательные усилия на тех же гранях образуют две пары сил: x_zlJdy с плечом dz и x_yzdz с плечом dy, сумманый момент которых должен быть равен нулю:

(х_гуdy)dz-(х_угdz)dy=0, (3.1)

Ввиду того что элементарный параллелепипед может быть ориентирован произвольно, соотношение (3.1) выражает общее положение, обычно законом парности касательных напряжений.

Следовательно, при плоском напряженном состоянии возможны лишь два варианта действия касательных напряжений (рис. 72).