- •Предмет теории вероятностей
- •2. Понятие события. Виды событий.
- •Виды случайных событий
- •3. Классическое и статистическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики
- •3.1 Классическое определение вероятности.Свойства вероятности.
- •3.2 Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •3.3 Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность.
- •3.4 Основные формулы комбинаторики
- •Решение. Искомое число способов
- •1. Понятие суммы и произведения событий.
- •2. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий и событий, образующих полную группу событий
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Полная группа событий
- •Теорема сложения вероятностей противоположных событий. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
- •3.1 Противоположные события
- •3.2. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •2. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
- •Теорема о вероятности появления хотя бы одного независимого
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2. Формула полной вероятности
- •Деталь может быть извлечена , либо из первого набора (событие в1), либо из второго (событие в2).
- •3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •1) Деталь проверил первый контролер (гипотеза в1);
- •2) Деталь проверил второй контролер (гипотеза b2).
- •1. Формула Бернулли
- •2. Локальная теорема Лапласа
- •3. Интегральная теорема Лапласа
- •Случайная величина
- •Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .
- •3. Биномиальный закон распределения .
- •4 . Распределение Пуассона
- •5 . Геометрическое распределение .
- •Понятие и вероятностный смысл математического ожидания дискретной случайной величины
- •Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено «n» испытаний, в которых слу-
- •2. Свойства математического ожидания
- •Математическое ожидание случайной величины сх:
- •3. Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения
- •Дисперсия дискретной случайной величины и формула для ее вычисления.
- •1.1 Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •1.2 Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •1.3 Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.4. Формула для вычисления дисперсии
- •2. Свойства дисперсии и их следствия.
- •Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (дисперсия биномиального закона распределения)
- •3. Среднеквадратическое отклонение одной и суммы независимых случайных величин.
- •Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •4. Сущность и значение для практики теоремы Чебышева.
- •2. Свойства функции распределения
- •3. График функции распределения
- •1. Определение и свойства плотности распределения.
- •Свойства плотности распределения
- •2. Взаимосвязь функции и плотности распределения вероятностей.
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено «n» испытаний, в которых слу-
нятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:
Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события
Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим
Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак,
Вероятностный смысл полученного результата таков:
математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания.
В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.
Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы—их вероятностям.
Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI—XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.
2. Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно.
Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения x1 равна p1, то вероятность того, что величина СХ примет значение Сх1, также равна р1.
Свойство 2.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:
Математическое ожидание случайной величины сх:
Итак,
Замечание 2.
Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.
Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Замечание 3.
Определим произведение независимых случайных величин Х и У как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У; Вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.
Например, если вероятность возможного
Свойство 3.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Доказательство. Пусть независимые случайные величины Х и У заданы своими законами распределения вероятностей:
Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения Х на каждое возможное значение У
чание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
или
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Например, для трех случайных величин имеем:
Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример 1. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.
Случайные величины Х и У независимые, поэтому искомое математическое ожидание
Замечание 4. Определим сумму случайных величин XиY как случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением У;
вероятности возможных значений X+Y для независимых величин Х и У равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
Заметим, что некоторые суммы х+у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы
Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Доказательство. Пусть случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:
Составим все возможные значения величины X+Y.
Для этого к каждому возможному значению Х прибавим
возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их ве
Математическое ожидание величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
или
Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.
Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим
или окончательно
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Например, для трех слагаемых величин имеем
Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1==0,4; p2==0,3 и р3=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу-
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Искомое математическое ожидание находим по теореме о мате- магическом ожидании суммы:
Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй—через У. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:
Очевидно, что и М (У) ==7/2.
Искомое математическое ожидание
М (X + У) = М (X) + М У) = 7/2 + 7/2 = 7.