5.4. Методы решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера применяется для
приближённого решения обыкновенных
дифференциальных уравнений (т.е. для
решения задачи Коши) вида
при начальном условии
.
Метод Эйлера заключается в том, что
производная
заменяется соотношением
,
где
– шаг интегрирования. Далее на каждом
шаге значение неизвестной функции
в точке
вычисляется по формуле
.
Метод Рунге-Кутта (метод Рунге-Кутты) применяется для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности
является наиболее распространённым и
заключается в том, что интегрирование
дифференциального уравнения заменяется
формулой:
,
где
;
;
;
.
5.5. Методы численного интегрирования
Метод прямоугольников (формула прямоугольников) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.
Метод прямоугольников заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется горизонтальными ступеньками. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей прямоугольников, образованных этими ступеньками.
Метод трапеций (формула трапеций) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.
Метод трапеций заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется отрезками наклонных линий. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей трапеций, образованных этими отрезками.
Метод Симпсона (формула парабол) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.
Метод Симпсона заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется участками парабол. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей фигур, образованных этими параболами.