15. Переход к новому базису.

16. Линейные операторы: основные понятия, зависимость между матрицами оператора в разных базисах.

Оператором А называется закон(в соответствии с правилом) при котором каждому элементу из пространства ставится в соответствие единственный элемент из пространства .

Оператор А называется линейным, если для любых векторов х,у из пространства и для любого действительного числа альфа выполняется 2 условия:

1.

2.

Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Верно и обратное: всякой матрице n-ого порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах определяется следующей теоремой.

Т. Пусть А-матрица оператора в старом базисе; А(со звездочкой)-матрица того же оператора в новом базисе, тогда матрицы А и А(со з.) связаны между собой следующим соотношением

Где С-матрица перехода от старого базиса к новому.

17. Евклидово пространство.

Линейное пространство, в котором задается скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам скалярного произведения, называется евклидовым пространством.

Свойства скалярного произведения векторов

Длиной вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из его скалярного произведения

Угол между векторами х и у определяется равенством:

2 вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.

Векторы L1?L2...Ln n-мерного евклидового пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого вектора равна 1.

Т. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Вектор Х отличный от нуля называется собственным вектором линейного оператора а, если существует такое число лямбда, что образ вектора Х относительно оператора а равен (лямбда)х.

При этом число лямбда называется собственным значением линейного оператора а.

Алгоритм нахождения:

1.Составляем характеристическое уравнение.

2.Решаем полученное уравнение, находим собственные значения линейного оператора.

3.Находим собственный вектор, соответствующий каждому собственному значению.

Для этого в уравнение…………………вместо лямбда подставляем найденные собственные значения и решаем полученную систему.

Утверждение: Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В качестве базиса можно взять систему векторов, состоящую из собственных векторов линейного оператора. Тогда матрица оператора а в базисе, состоящем из его собственных векторов является диагональю и имеет вид………………..

Верно и обратное: Если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональю, то все векторы данного базиса являются собственными векторами линейного оператора а.

19. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм, критерий Сильвестра.

Квадратичн. формы L(x1,x2,….xn) называется сумма, каждый член которой явл либо квадратом одной из переменной, либо произведением 2х переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

L= XAX(транспонир.)

Если м-ца невырождена

Ф-ла:

Квадр.форма называется канонической, если все коэффициенты при смешанных произведениях перемешанных равны нулю.

Т.Любая квадр. Форм.с помощью невырожденных линейных преобразований переменных может быть приведена к каноническому виду.

Т.(ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВ ФОРМ). Число слагаемых с полож(отриц)коэффициентами не зависят от способа приведения формы к каноническому виду.

ОпР!Квадр форм называется полож(отриц)определенной, если при всех значениях переменной, из которых хотя бы одно отлично от нуля.

Критерий Сильвестра:Для того, чтобы квадр форм была положит определеннной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой формы были положительны, т.е.

Следствие:Для того, чтобы кв форма была отриц определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главн миноров матриц чередовались, причем первый отрицательн.