Числовые характеристики выборки

Вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьируется признак в выборочной совокупности. Но они недостаточны для полной характеристики выборки, поскольку содержат много деталей, охватить которые невозможно без применения обобщающих числовых характеристик.

Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой. Наибольшее практическое значение имеют характеристики положения, рассеяния и асимметрии эмпирических распределений.

Среднее арифметическое представляет собой такое значение признака, сумма отклонений выборочных значений признака от которого равна нулю.

Геометрический смысл среднего арифметического - точка на оси х, которая является абсциссой центра масс гистограммы.

Среднее арифметическое может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных:

где n - объем выборки; xi - варианты выборки. Для сгруппированных данных:

где n - объем выборки; k - число интервалов группировки; ni - частоты интервалов; xi - срединные значения интервалов.

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина - больше.

Для вычисления медианы несгруппированных данных выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке возрастания или убывания, и в ранжированной выборке, содержащей n членов, ранг R (порядковый номер) медианы определяется как . Если четное число членов в выборке, то медианой будет среднее арифметическое между двумя центральными значениями членов выборки, порядковый номер которых больше и меньше полученного значения ранга медианы.

Для нахождения медианы в случае сгруппированных данных находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путем подсчета накопленных частостей. Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше n/2 (n - объем выборки) или частость - больше 0,5. Внутри медианного интервала медиана определяется по следующей формуле:

где хMeН - нижняя граница медианного интервала; h - ширина интервалов группировки; nxMe-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; nMe - частота медианного интервала.

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающегося в выборке наиболее часто.

Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.

Для несгруппированных данных мода - это значение признака с наибольшей частотой появления.

Для определения моды сгруппированных данных используется следующая формула:

,

где xMoH - нижняя граница модального интервала, nMo - частота интервала.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, принято считать, что группа оценок не имеет моды.

Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существуют две моды, а группа оценок является бимодальной.