1.Понятие функции нескольких переменных. Частное и полное приращение.

Если какая-то переменна величина z зависит от изменения двух независимых переменных х и у, то она называется функцией двух переменных и записывается в виде z=f(x,y).

Переменные х и у – называют аргументами, а z – это функция нескольких переменных. Для функции также находится D(z) – область определения.

Рассмотрим функцию U=f(x,y). Изменение U может зависеть от изменения одного, двух или всех трех независимых аргументов.

D(z) – область определения функции двух или более переменных есть подмножество корд плоскости ОХУ. Окрестностью точки М₀ (х₀;у₀) называется круг, содержащий т.М₀(х₀;у₀).

График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для упрощения построения удобнее рассматривать функцию одной переменной. Z=f(x₀;y₀) ; z=f(x;y₀). Это постоянные числа. Придаем произвольные значения, подставляем в функцию и строим (сначала от одной переменной, потом от другой).

Важным инструментом для определения поведения функции является линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С – называется уровнем.

Изменение функции U зависит от изменения любого из аргументов. Допустим, что у и z сохраняют постоянные значения, а переменная х получает приращение (дельта х), т.е. изменяется. Функция U получит приращение (дельта U), которое называется частным приращением Ux.

U=f(x+ х,y,z)-f(x,y,z).

Аналогично, если изменяется только у, а х и z останутся постоянными, можем получить частное приращение по у. U_y

у U=f(x, y+ у, z)-f(x,y,z).

Если все переменные получают соответственные приращения, т.е. дельта х, дельта у, дельта z, то функция U получит полное приращение.

Дельта U=f(x+ х, y+ у, z+ z) – f(x,y,z).

2.Частные производные и частные дифференциалы. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Примеры.

Если составить отношение частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента и найти предел этого отношения, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то получим производную функции по соответствующему аргументу. Это будет частная производная.

Аналогично находим частные производные по переменным у и z.

При нахождении частной производной функции по х мы можем рассматривать функцию одной переменной х, т.к. остальные переменные у и z будут сохранять значения.

Таким же образом находят частные производные по у и z.

Пример: найти частные производные.

Z=x³*siny+e⁴

; у=const ; ; х=const

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной или на дифференциал независимой переменной называется частным дифференциалом.

Полагаем, что приращение независмой переменной равно ее дифференциалу.

Полный дифференциал. Равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциал независимых соответственных переменных.