Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим формулу. Схема трехшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо, сделав два шага, найти по методу Рунге – Кутта 4-го порядка , , после чего вычислить оставшиеся значения.

Неявная схема Адамса 3-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим формулу. Так как схема двухшаговая, то для начала расчетов необходимо, сделав одиншаг, найти y(1)по методу Рунге – Кутта 4-го порядка, после чего y2, y3, ...вычисляются. Эта формула явно не разрешена относительно y(k),поэтому для получения y(k)требуется использовать итерационную процедурурешения уравнения.Значение y(k,0)следует рассчитать по формуле.

Краевая (граничная) задача

Рассмотрим граничную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентамиy//+p(x) y/ + q(x) y = f(x)на отрезке [a, b] с граничнымиусловиями общего вида. В тех случаях, когда невозможно получить решение этой задачи аналитическим методом, используются приближенные или численные методы. Суть приближенных методов.Выбирается система линейно-независимых дважды дифференцируемых функций, при этом функция должна удовлетворять граничным условиям, Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций.

Метод стрельбы

Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения граничной задачи к многократному решению задачи Коши. Введя замену переменных y1(x)=dy/dx, заменим дифференциальное уравнение второго порядка системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: dy/dx = y1,dy1/dx = f(x) – p(x)y1 – q(x)y с граничными условиями общего вида. Задавшись произвольным начальным условием для y(x) из первого уравнения получаем начальное условие для y1(x): y1(a)=(A-1 y0)/1 Система уравнений представляет собой задачу Коши, которая решается одним из ранее рассмотренных методов. Получив в результате решения задачи Коши значения y(b), y1(b) на правом конце отрезка [a, b], проверяют, выполнилось ли второе условие, которое может быть представлено в виде F(y0)=2 y(b)+2 y1(b)–B=0. Таким образом граничная задача в итоге сводится к нахождению корня уравнения F(y0)=0 для вычисления правой части которого необходимо решить задачу Коши. Описанный алгоритм называется методом стрельбы, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона интегральной кривой в начальной точке.

Метод конечных разностей

Сущность метода в том, что он сводит решение граничной задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение их конечно – разностными аппроксимациями.Граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных y/(a), y/(b) помощью конечно-разностных соотношений.предпочтительнее аппроксимировать первые производные со вторым порядком точности. В итоге полученные выражения образуют систему линейных алгебраических уравнений (n+1)-го порядка, решив которую, получают решение граничной задачи в виде значений искомой функции y(x) в узловых точках.