24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
Сущность метода конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Сеткой называется любое конечное множество точек области (отрезка). Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сетку принято обозначать , hi=xi+1-xi- шаг сетки, i=0,1,2,…,n-1}, где i=0,1,2,…,n – узлы сетки., f(xi) – сеточная функция. Сетка называется равномерной сеткой, если шаг сетки h=const будет величиной постоянной. Во всех остальных случаях сетка называется неравномерной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используют соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется аппроксимацией на сетке или разностной аппроксимацией. Т.о. решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. при этом возникают вопросы обоснованности замены дифференциальных уравнений сеточными, уровня качества такой аппроксимации, точности получаемых численных решений, устойчивости применяемого метода и т.д., т.е. вопросы теоретического обоснования численных методов.
В теории разностных схем для компактности записи дифференциального уравнения, начальных и граничных условий используют некоторый символический вид записи, называемый операторным. Например задачу (1) можно записать
Lu=0 или L1u=f(x), где L или L1 дифференциальный оператор, содержащий операции дифференцирования. Значение этого оператора будет различным для разных дифференциальных уравнений. Дополнительные условия также можно представлять в операторном виде.
25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
Двухточечная граничная задача для уравнения (1) ставится следующим образом. Найти функцию u(x), которая на отрезке [a,b] удовлетворяет уравнению (1), а на его концах следующим граничным условиям
(2)
(3)
Функции
имеют общее количество условий,
совпадающее с порядком исходного
дифференциального уравнения.
Если уравнения (1)-(3) являются линейными относительно искомой функции u=u(x) и ее производных, то граничная задача (1)-(3) называется линейной.
Для решения двухточечной краевой задачи на основе ДУвторого порядка в пакете MathCad имеются функции Odesolve(x,b) и sbval(v,a,b,D,load,score). Параметры функции Odesolve: x-независимая переменная, b- правая граница интервала, на котором ищем решение. Для применения этой функции необходимо оформлять вычислительный блок с помощью Given. В этом блоке записывается граничная задача и функция Odesolve, при этом для записи производной второго порядка в самом уравнении нельзя использовать значок , в граничных условиях недопустимо задавать комбинацию значений искомой функции и ее производной.
Пример использования функции Odesolve
Функцию Odesolve можно применять для решения задачи Коши. Например
Функция sbval находит недостающие начальные условия в левой точке интервала [a,b]. После того как будут получены эти недостающие начальные условия, можно решать обычную задачу Коши любым известным методом. Начальные условия, которые возвращает функция sbval, будут согласованы с теми значениями, которые заданы в конечной точке интервала.