30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2

Рассмотрим метод стрельбы для двухточечной краевой задачи на основе обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

(1)

(2)

(3)

где p(x),q(x),f(x) – известные функции, определенные на отрезке поиска решения, а параметры имеют конкретное числовое значение, причем выполняется условие .

Рассуждения могут быть подобны методу редукции. Имеем задачу (1)-(3). Доказывается, что в случае, когда для двух линейно независимых решений Y0 и Y1 этой задачи одно граничное условие выполняется, например , то общее решение задачи (1)-(3) будет теперь зависеть от одного произвольного параметра и его можно представить в виде

u(x)Y(x) =Y0(x) + CY1(x) (8)

Параметр С находим из второго граничного условия . Подставим выражение приближенного решения (8) в граничное условие (3) и выразим параметр С, получаем

(9)

Для реализации такого алгоритма выбираем на левом конце одно из начальных условий, вообще говоря, произвольно. Например, если , то принимаем тогда из граничного условия (2) находим

и решаем следующую задачу Коши, решение которой обозначаем как Y0

Затем выбираем другое значение так, чтобы 2  1 (т.е. решения при этих 1,2 должны быть линейно независимы). Решаем следующую задачу Коши

Используя результаты решения этих задач Коши на правом конце отрезка, т.е в точке x=b, вычислим параметр С как соотношение (9) и по формуле (8) найдем решение исходной граничной задачи.

Метод стрельбы может быть обобщен на случай нелинейных граничных задач. Однако при этом возможна потеря точности. Метод стрельбы используется также для решения систем уравнений.

Для решения двухточечной краевой задачи на основе дифференциального уравнения второго порядка в пакете MathCad имеются функции Odesolve(x,b) и sbval(v,a,b,D,load,score).

31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.

Универсальным численным методом решения граничных задач, в основе которых лежат дифференциальные уравнения n-го порядка, являются методы конечных разностей (сеток). Достоинство конечно-разностных методов состоит в том, что они сводят решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

Чтобы решить задачу (1)-(3) методом конечных разностей, необходимо выполнить следующее:

1. Заменить область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек, т.е. на отрезке [a,b] строится сетка , где – узлы сетки , i=0,1,…,n; точки и - это граничные узлы сетки , все остальные узлы называются внутренними. Величина i=0,1,…,n-1 называется шагом сетки . Количество и расположение узлов сетки выбирается в зависимости от требуемой точности решения задачи, в частном случае сетка выбирается равномерной, т.е. и шаг сетки в этом случае выбирается как h=(b-a)/n.

2. Заменить (аппроксимировать на сетке) дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2)-(3) разностными уравнениями. Для этого

• в каждом узле сетки _i определяем сеточную функцию .

• заменяем значения производной отношением конечных разностей;

• переходим от непрерывного дифференциального уравнения относительно функции u=u(x), (аргумент х – непрерывен) к разностной задаче относительно сеточной функции .

• в итоге граничная задача (1)-(3) заменяется системой алгебраических уравнений относительно сеточной функции ; Эта система алгебраических уравнений называется разностной схемой.

3. необходимо решить систему алгебраических уравнений относительно сеточной функции и тем самым найти таблицу значений этой сеточной функции, являющейся приближенным решением исходной краевой задачи.

При его использовании всегда возникают следующие вопросы:

1. Существует ли решение системы алгебраических уравнений вида (15)-(17);

2. Какими методами стоит находить это решение;

3. Сходится ли в какой-либо норме полученное решение разностной задачи (15)-(17) к точному решению исходной задачи (1)-(3) при стремлении шага сетки к нулю h

Доказательство существования единственного решения системы (15)-(17) основывается на том, что исходная задача (1)-(3) была линейной и для ее аппроксимации использовались также линейные соотношения. Следовательно, полученная система уравнений (15)-(17) также является линейной с трехдиагональной матрицей. Известно, что при выполнении условия диагонального преобладания элементов этой матрицы, решение системы существует и является единственным. Решается такая система методом прогонки. Эти вопросы рассматривались в курсе Численных Методов Алгебры.

Что касается сходимости решения, то в общем случае по погрешности аппроксимации нельзя сделать вывод о погрешности решения. Однако, доказывается, что, если функция q(x)=0, а p(x), f(x) являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями и граничные условия являются краевыми условиями первого рода, то при h разностное решение равномерно сходится к точному со скоростью .

Для оценки сходимости полученного решения в общем случае необходимо провести расчеты для различных значений шага (не менее 3) и убедиться, что в одних и тех же узлах полученные значения сеточной функции близки между собой.

Метод конечных разностей используется также для граничных задач с нелинейным дифференциальным уравнением. Алгоритм применения метода сеток при этом не изменяется, но мы получим нелинейную систему алгебраических уравнений. Для решения такой системы необходимо использовать итерационные методы. Можно также использовать метод линеаризации, т.е. сведение решения нелинейной системы к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

Для нелинейной задачи на основе обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка также рассматривается вопрос ее аппроксимации разностной задачей, исследуется вопрос погрешности такой аппроксимации, порядка аппроксимации и возможности повышения порядка аппроксимации. Если исследовать устойчивость полученной разностной схемы сложно, то следует провести расчет на нескольких сетках с различными шагами. Если при убывании шага сетки h все разностные решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью, соответствующей порядку точности схемы, то это является свидетельством хорошей устойчивости.