- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
Ядро уравнения Фредгольма второго рода
(1)
называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде суммы конечного числа членов вида
(2)
т.е. каждый член разложения можно представить в виде произведения известных функций одной переменной , . Функции А(х) и В(s) известны и являются линейно независимыми. (для уравнения Вольтера ядро не может быть вырожденным, т.к. иначе оно тождественно равнялось бы нулю). Предполагая, что решение интегрального уравнения (1) с вырожденным ядром (2) существует, и будем искать его в виде суммы конечного числа некоторых элементов следующего вида
(3)
где - некоторые числовые коэффициенты, которые достаточно просто можно определить через и . В самом деле, подставив (3) в (1) и учитывая (2), получим
(4)
Чтобы найти численное значение коэффициентов (4), построим линейную систему уравнений следующим образом. Подставим соотношение (3) в (4)
(5)
Введем следующие обозначения:
i,j=1,2,…,n (6)
Получили линейную систему уравнений относительно неизвестных
(7)
Решая эту систему и подставляя найденные значения в (3), найдем искомое значение функции u(x).
Построение решения u(х) сводится в случае вырожденного ядра К(х, s) к вычислению величин и решению системы линейных алгебраических уравнений (7). Если эти величины будут определены точно, то получим точное решение исходного интегрального уравнения.
В ряде случаев произвольное ядро удается хорошо аппроксимировать вырожденным ядром. Тогда решение полученного аппроксимирующего уравнения принимается в качестве приближенного решения исходного уравнения. Способов построения для заданного ядра вырожденного и близкого ядра существует несколько. В качестве ядра можно взять отрезок ряда Тейлора, ряда Фурье или воспользоваться каким-либо правилом интерполирования.
Применение степенного ряда эффективно в случае, когда ядро является аналитической функцией от s в области , где с есть середина отрезка [a,b] и . В этом случае ядро можно разложить в степенной ряд по степеням (s-c), сходящийся в круге . Коэффициенты этого ряда будут зависеть от х:
где . В качестве вырожденного ядра К(х, s) может быть взят конечный отрезок степенного ряда
Аналогично можно поступать и в тех случаях, когда ядро есть аналитическая функция от х или от обоих аргументов.
При использовании интерполяционных методов поступают следующим образом. Выбирают на отрезке [a,b] n узлов s1,s2,...,sn и интерполируют по аргументу s функцию по ее значениям в выбранных точках s1,s2,...,sn. При этом будет получено приближенное представление ядра исходного уравнения :
и может быть принято за вырожденное ядро.
Оценки точности таких приближений очень громоздки и в практике неудобны. Из-за сложности вычисления интегралов в аппроксимирующих выражениях методы последовательных приближений и замены ядра на вырожденное используются редко, но эти методы полезны для нахождения первых приближений к решению интегрального уравнения.
При решении уравнения Вольтера СЛАУ (5) имеет треугольный вид и легко решается методом последовательного исключения неизвестных ( по аналогии с обратным ходом Гаусса).