§1. Комплексные числа и действия над ними

1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами

Определение. Комплексным числом α называется упорядоченная пара (a;b) действительных чисел а и b, то есть α= (a;b) , а,b .

Множество комплексных чисел обозначается , то есть

={α=(a;b) | а,b }.

Комплексные числа α₁ =(a₁;b₁) и α₂=(a₂;b₂) называются равными, если a₁=a₂, b₁=b₂.

Пусть α=(a;b) . Первая компонента пары называется вещественной (или действительной) частью, а вторая – мнимой частью комплексного числа α. Обозначается: a=Reα, b=Imα.

Определение. Суммой комплексных чисел α₁=(a₁;b₁) и α₂=(a₂;b₂) называется комплексное число β=α₁ +α₂ =(a₁ +a₂; b₁ +b₂).

Определение. Произведением комплексных чисел α₁=(a₁;b₁) и α₂=(a₂;b₂) называется комплексное число β=α₁·α₂=(a₁·a₂-b₁·b₂; a₁·b₂+a₂·b₁).

Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

1) α₁ +α₂=α₂ +α₁ (коммутативность сложения),

2) α₁ ·α₂=α₂ ·α₁ (коммутативность умножения),

3) α₁ +(α₂ +α₃)=(α₁+α₂)+α₃ (ассоциативность сложения),

4) α₁ ·(α₂·α₃)=(α₁·α₂)·α₃ (ассоциативность умножения),

5) α₁ ·(α₂+α₃)=α₁·α₂+α₁·α₃ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

При b=0 комплексное число α =(а;0) отождествляется с действительным числом а. То есть множество действительных чисел является частью множества комплексных чисел. Из определения сложения и умножения следует, что

(а₁ ;0)+(а₂ ;0)=(а₁+а₂;0),

(а₁ ;0)·(а₂ ;0)=(а₁·а₂;0),

т.е. операции над комплексными числами вида (а;0) совпадают с операциями над действительными числами.

При а=0 комплексное число α=(0;b) называется чисто мнимым. Комплексное число 0=(0;0) называется нулем. Комплексное число 1=(1;0) называется единицей, комплексное число i=(0;1) называется мнимой единицей.

Из определения сложения и умножения следует, что справедливы равенства:

α +0=α,

α·0=0,

α·1=α,

i·i=i²=-1,

i³ =i²·i=(-1)·i=-i,

i⁴ =i³·i=-i·i=-i² =-(-1)=1.

Следовательно, m,n

i^4·m+n=iⁿ.

Например, i⁵⁹ = i^4·14+3 =i³=-i.

На основе равенства i·b = (0;1)·(b;0)=(0;b) получается алгебраическая форма записи комплексного числа α=(a;b)=(а;0)+(0;b)=a+i·b,

α=а+i·b.

То есть всякое комплексное число α=(a;b) может быть представлено в виде суммы действительного числа а и чисто мнимого числа b·i.

Определение. Пусть α=а+i·b. Комплексное число =а–i·b называется сопряженным к числу α=а+i·b.

Из определения умножения получаем, что α· =a²+b² .

Определение. Разностью двух комплексных чисел α₁=(a₁;b₁) и α₂=(a₂;b₂) называется комплексное число β, удовлетворяющее равенству α₂+β=α₁.

Очевидно, β=(a₁–a₂;b₁-b₂).

Определение. Делением комплексного числа α₁ на комплексное число α₂≠0 называется операция обратная умножению.

Под символом понимается число β, удовлетворяющее равенству α·β=1. Умножая обе части этого равенства на , находим β= .

Определение. Частным комплексного числа α₁ и α₂ ≠0 называется комплексное число β, такое что β·α₂=α₁.

Заметим, что понятие «меньше», «больше» для комплексных чисел не определяются.

Величину z=(x;y), где х,у – действительные переменные, будем называть комплексной переменной.