11. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегиях графическим и приближенным методом.

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называют игрой с ну- левой суммой. Если в игре участвую два игрока, то ее называют парной. В качестве игрока может выступать как отдельное лицо, так и группа лиц, объединенных общей целью.

Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выбирает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представление о множестве допустимых ответных решений партнера. В связи с этим ни один из игроков не может полностью контролировать положение, так что как одному и другому игроку решение приходится принимать в условиях неопределенности. Непременным остается только стремление игроков ис- пользовать любую ошибку партнера в своих интересах. Игры, в которых оба участника, действуя в строгом соответствии с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшего для себя результата, называют иногда стратегическими. В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение. В играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется это тем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то "природа", будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать такие ответные действия (будем говорить: реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку.

При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей 2хn и 2хm целесообразно использовать графический метод решения за- дач линейного программирования и свойства оптимальных планов пары двойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным планом задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.

11/2

Если точное решение матричной игры оказывается громоздким, можно ограничиться приближенным решением. В частности, когда нижняя чистая цена игры мало отличается от верхней чистой цены , иногда пользуются чистыми максиминной и минимаксной стратегиями, принимая их за оптимальные. В противном случае целесообразно использовать метод итераций. В основе этого метода лежит предположение, что игра состоит из большого количества партий и игроки выбирают свои чистые стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимся опытом уже сыгранных партий, обоснованно полагая, что партнер и дальше будет действовать так, как он действовал до этого момента. Если каждый игрок имеет единственную оптимальную смешанную стратегию, то при неограниченном увеличении числа партий приближенные смешанные стратегии стремятся к оптимальным стратегиям игроков, а средние выигрыши – к цене игры . Используя ЭВМ, вычислительную процедуру можно значительно ускорить и получить решение игры с любой точностью даже при матрицах больших размерностей. v

Итеративный метод можно рекомендовать для получения приближенного плана больших по размеру задач линейного программирования, с тем чтобы этот план преобразовать затем в оптимальный с помощью более громоздкой симплексной процедуры.