- •5.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •6.Собственные векторы и собственные значения.
- •7.Прямоугольная и полярная система координат на плоскости.
- •8. Длина вектора. Угол между векторами.
- •14.Комплексные числа. Сумма, произведение, частное, возведение в степень, извлечение корня.
- •15. Замечательные пределы: 1-й, 2-й, 3-й.
- •23.Определение производной. Геометрический смысл производной
- •24. Теорема о дифференцируемости и непрерывности функции.
- •25. Основные формулы и правила дифференцирования.
- •26. Производная сложной функции.
- •27. Производная степенно-показательной функции.
- •28. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •29. Дифференциалы высших порядков
- •30. Условие монотонности функции.
- •31.Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба.
- •32.Асимптоты графика функции.
- •33. Необходимые условия существования максимума и минимума функций
- •34. Достаточные условия существования экстремума функций.
- •35. Экстремумы функций нескольких переменных
- •36.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 1 Лопиталя (при , при ).
- •37.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 2 Лопиталя (при , при ).
- •38.Раскрытие неопределенности вида
- •39.Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена.
- •40.Разложение произвольной функции по формуле Тейлора.
- •41.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •42.Свойства неопределенных интегралов.
- •43. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби, правильные дроби и их интегрирование.
- •44. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле.
- •45. Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
- •46.Нахождение площади плоской фигуры и объема тела вращения.
- •1.Площадь плоской фигуры
- •47.Нахождение длины дуги и площади поверхности тела вращения.
- •48.Комбинаторика. Размещения, размещения с повторением.
- •49.Комбинаторика.Перестановки,перестановки с повторением.
- •50.Комбинаторика.Сочетание,сочетание с повторением.
- •51.Понятие вероятности. Классификация событий. Примеры.
- •53.Формула полной вероятности
- •54. Формула Байеса
- •55. Случайные величины дискретные и непрерывные. Законы распределения случайных величин.
- •56. Закон нормального распределения.
- •57.Математическое ожидание, дисперсия случайной величины.
- •58. Корреляция. Коэффициент корреляции.
30. Условие монотонности функции.
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале. Пусть функция непрерывна на(a,b) и имеет в каждой точке производную f’(x). Тогда
f возрастает на(a,b) тогда и только тогда, когда
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на(a,b) и имеет в каждой точке производную f’(x) Тогда
если то строго возрастает на (a,b)
если то строго убывает на (a,b)
(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f’(x) . Тогда f строго возрастает на интервале(a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
31.Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Определение 1. Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2 принадлежит Х их этого промежутка выполняется неравенство ) >
Теорема. Функция выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда . когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает(убывает)
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательно) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз(верх) на этом промежутке.
Определение 2. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка , разделяющая интервалы , в которых функция выпукла вниз и вверх
Теорема(необходимые условие перегиба)Вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю т.е f”(x)=0
Теорема (достаточные условия перегиба ) Если вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точка х0 меняет свой знак , то х0 есть точка перегиба её графика.
32.Асимптоты графика функции.
Определение. Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая , обладающая тем свойством , что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Теорема1.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и хотя бы один их пределов функции при х стремится к х0-0(слева) или при х стремится х0+0(справа) равен бесконечности. Т.е . Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).
Теорема2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный придел Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x)
Теорема3 Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный придел и Тогда прямая y=kx+b является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).