- •5.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •6.Собственные векторы и собственные значения.
- •7.Прямоугольная и полярная система координат на плоскости.
- •8. Длина вектора. Угол между векторами.
- •14.Комплексные числа. Сумма, произведение, частное, возведение в степень, извлечение корня.
- •15. Замечательные пределы: 1-й, 2-й, 3-й.
- •23.Определение производной. Геометрический смысл производной
- •24. Теорема о дифференцируемости и непрерывности функции.
- •25. Основные формулы и правила дифференцирования.
- •26. Производная сложной функции.
- •27. Производная степенно-показательной функции.
- •28. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •29. Дифференциалы высших порядков
- •30. Условие монотонности функции.
- •31.Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба.
- •32.Асимптоты графика функции.
- •33. Необходимые условия существования максимума и минимума функций
- •34. Достаточные условия существования экстремума функций.
- •35. Экстремумы функций нескольких переменных
- •36.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 1 Лопиталя (при , при ).
- •37.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 2 Лопиталя (при , при ).
- •38.Раскрытие неопределенности вида
- •39.Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена.
- •40.Разложение произвольной функции по формуле Тейлора.
- •41.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •42.Свойства неопределенных интегралов.
- •43. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби, правильные дроби и их интегрирование.
- •44. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле.
- •45. Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
- •46.Нахождение площади плоской фигуры и объема тела вращения.
- •1.Площадь плоской фигуры
- •47.Нахождение длины дуги и площади поверхности тела вращения.
- •48.Комбинаторика. Размещения, размещения с повторением.
- •49.Комбинаторика.Перестановки,перестановки с повторением.
- •50.Комбинаторика.Сочетание,сочетание с повторением.
- •51.Понятие вероятности. Классификация событий. Примеры.
- •53.Формула полной вероятности
- •54. Формула Байеса
- •55. Случайные величины дискретные и непрерывные. Законы распределения случайных величин.
- •56. Закон нормального распределения.
- •57.Математическое ожидание, дисперсия случайной величины.
- •58. Корреляция. Коэффициент корреляции.
39.Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена.
Дан многочлен n-ной степени p(x)
p(x)=a0+a1*x+a2*x²+a3*x³+…+an*x^n
p'(x)=a1+2a2*x+3a3*x²+…+an*x^n-1
p''(x)=2a2+6a3*x+…+n*(n-1)*x^n-2*an
p^n'(x)=an*n!
Если возьмем x=0,то получим:
x=0
p(0)=a0
p'(0)=a1
p''(0)=2a2 ….
P^n'(0)=an*n!, тогда исходный многочлен можно переписать в виде:
p(x)=p0+p'(0)*x+(p''(0)/2)*x²+…+(p^n'(0)/n!)*x^n – это формула Маклорена ,разложение в окрестности 0.
Можно разложить в окрестности любой точки (x0):
p(x)=p(x0)+p'(x0)/1!*(x-x0)+p''(x0)/2!*(x-x0)²+p'''(x0)/3!*(x-x0)³ … + p^n'(x0)/n!*(x-x0)^n – это Формула Тейлора,основная формула.
40.Разложение произвольной функции по формуле Тейлора.
y=f(x)
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)² +…+ f^n'(x0)/n!*(x-x0)^n + r n+1 (x) , где r n+1 (x) – это остаточный член
41.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
1.
2.
3.
42.Свойства неопределенных интегралов.
1. d( f(x)dx)=f(x)dx
2. F'(x)dx=F(x)+C
3. (f(x)±g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx
4. k*f(x)dx = k* f(x)dx
5. (kx+b)dx = 1/k*F(kx+b)+C
1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
(∫f(x)dx)’ = f(x)
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
d(∫f(x)dx) = f(x)dx
3. Неопределенный интеграл о дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью
до постоянного слагаемого, т.е.
∫dF(x) = F(x) + C , где С - произвольное число.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
∫αf(x)dx = α∫f(x)dx, где α – некоторое число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций,
т.е. ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
43. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби, правильные дроби и их интегрирование.
1. Если степень знаменателя = 1, то интеграл имеет вид
∫dx ÷ (kx + b)
Находим по формуле
∫dx ÷ (kx + b) = 1÷k*ln|kx + b| + C, k≠0
Или методом замены переменной
t= kx + b
2. Если степень знаменателя > 1, то искомым является интеграл вида
∫ ((ex + f)÷ (ax^2 + bx + c)) dx , где a, b, c, e, f –действительные числа, а ≠ 0.
Сводим данное выражение к виду
∫((ex + f)÷ (ax^2 + c)) dx путем выделения полного квадрата в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать линейную замену переменной.
Теперь для нахождения полученного интеграла достаточно найти интегралы ∫dx ÷ (ax^2 + c) и ∫xdx ÷ (ax^2 + c).
Интеграл ∫dx ÷ (ax^2 + c) сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу ∫dx÷(a^2 + x^2) = (1÷a)arctg(x÷a) + C , если ас>0,
Или к интегралу ∫dx÷(x^2 –a^2) = (1÷2a)ln|(x-a)÷(x+a)| + C, если ас<0
44. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница):
a∫b f(x)dx = F(b) – F(a)
Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке.
2. Формула замены переменной в определенном интеграле:
a∫b f(x)dx = α∫β f(ϕ(t))ϕ’(t)dt
Теорема: Пусть функция ϕ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], a= ϕ(α), b= ϕ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида x= ϕ(t), где t ϵ [α,β].