Вопрос 11. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A/B).

Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам Колмогорова и поэтому для нее справедливы все свойства вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

Вопрос 12. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то событие АHi можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем:

Формула Байеса.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события А, т.е. условные вероятности .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса

Доказательство.

По Теореме умножения вероятностей получаем:

Тогда если

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид:

Вопрос 13. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Опыты называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий.

В вероятностной схеме Бернулли рассматривается последовательность n независимых опытов , в каждом из которых некоторое событие A может наступить с одной и той же вероятностью . Условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступление (событие ) – как неудача. Вероятность неудачи в каждом опыте равна: .

Пусть для заданного целого числа k ( ) обозначает вероятность того, что в n опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:

Вероятности называются биномиальными в силу того, что правая часть формулы представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:

Так как , то из формулы бинома Ньютона следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна 1: