Вопрос 23. Понятие о различных формах закона больших чисел.

На практике сложно сказать какое конкретное значение примет случайная величина, однако, при воздействии большого числа различных факторов поведение большого числа случайных величин практически утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Этот факт очень важен на практике, т.к. позволяет предвидеть результат опыта при воздействии большого числа случайных факторов.

Теорема. (Неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше чем

Закон больших чисел в форме Чебышева

Пусть случайные величины x 1, x 2, ..., x n, ... , попарно независимы и имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной с: Dx i £ c, i = 1,2, ... . Тогда для любого e > 0

Таким образом, закон больших чисел устанавливает условия сходимости среднего арифметического n случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Теорема Бернулли

Теорема (Бернулли). Пусть m _n - число наступлений события А в n независимых испытаниях Бернулли, р - вероятность наступления события А в одном испытании. Тогда для любого e >0

Вопрос 24. Выборочный метод. Мода и медиана. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события .

Эмпирическая функция распределения (выборочная функция распределения) — естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.

Вопрос 25. Статистические оценки параметров распределения (точечные и интервальные). Несмещённая, состоятельная, эффективная оценка параметра.

Статистическая оценка - некоторая функция от результатов наблюдений, предназначенная для статистического оценивания неизвестных характеристик и параметров распределения вероятностей.

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ- функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич. постоянные, а в качестве случайных величин - результаты непосредственных измерений, подверженные случайным ошибкам.

Точечной оценкой наз. такая О. с., значение к-рой представимо геометрически в виде точки в том же пространстве, что и значения неизвестных параметров (размерность пространства равна числу оцениваемых параметров).

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q- Q*|. Другими словами, если d>0 и |Q- Q*| <d , то чем меньше d , тем оценка точнее.

Несмещенной называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.

M(Q*) = Q.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п®¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п®¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.