- •1.Дифференциальные уравнения: Порядок ду, общее и частное решение, Задача Коши и её геометрический смысл.
- •2.Дифференциальное уравнение первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
- •3.Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение.
- •4. Дифференциальное уравнение второго порядка, его общее и частное решения. Простейшее ду второго порядка и его решение.
- •5. Линейные дифференциальные уравнения
- •6.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Метод вариации произвольной постоянной.
- •7. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •8.Лин неоднородные ду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.
- •9.Лин неоднородные ду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
- •10. Предмет задачи теории вероятностей. Области применения Методов теорий вероятностей. Основные элементы теории вероятнотей. Случайные события: понятие, виды случайных событий.
- •11. Вероятность случайного события: Определения, способы вычисления вероятности.
- •12. Основные элементы комбинаторики: перестановка, размещение, сочетание.
- •13. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из неё.
- •14. Произведение событий. Теорема умножения Вероятностей для независимых событий и следствия из неё.
- •15. Условная вероятность. Условие независимости событий. Теория Умножения вероятностей.
- •16. Формула полной вероятности.
- •17. Теорема Гипотез (Формула Байеса)
- •18. Формула Бернулли и следствия из неё
- •19. Дискретные случайные величины и законы их распределения.
- •20. Непрерывная, случайная, величина и её законы распределения.
- •2.2. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22. Числовые характеристики положения случайной величины.
- •23. Числовые характеристики рассеивания случайной величины.
5. Линейные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение n –го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и ее производных , т.е. имеет вид:
рo(x)y(n) + р1(x)y(n- 1) +... + рn - 1(x)y´ + рn(x)y = f(x), (2)
где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) – заданные функции от х.
Если f(x) ≠ 0, то уравнение (2) называется линейным однородным, в противном случае – неоднородным (с правой частью).
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения:
рo(x) y(n) + р1(x) y(n– 1) +... + рn – 1(x) y´ + рn(x) y = 0. (3)
Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x) – постоянные, то уравнение (2) принимает вид:
рo y(n) + р1y(n– 1) +... + рn – 1y´ + рny = f(x) (4)
и называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Соответствующее уравнению (4) линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
рoy(n) + р1y(n – 1) +... + рn – 1y´ + рny = 0. (5)
Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записать уравнение (5) в виде
y(n) + р1y(n– 1) +... + рn – 1y´ + рny = 0 (6)
Теорема. Если функции являются линейно независимыми частными решениями уравнения (6), то его общее решение есть линейная комбинация этих решений, т.е.:
, (7)
где – произвольные постоянные.
Частные решения уравнения (6) будем искать в виде
, где k = const, (8)
тогда
, ,.
Подставляя полученные выражения в (6), будем иметь:
e kx (kn + р1kn–1 +... + рn–1k + рn) = 0.
Т.к. e kx ≠ 0, то
kn + р1kn–1 +... + рn–1k + рn = 0. (9)
Равенство (9) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (6). Характеристическое уравнение есть алгебраическое уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные.
Если k1, k2,..., kn – действительные и различные корни уравнения (9), то – частные линейно независимые решения уравнения (6), а его общее решение имеет вид
6.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Метод вариации произвольной постоянной.
Ур-ие вида у`+p(x)y=f(x), где p(x) и f(x)- непрерывные функции, называется линейным ду 1-го порядка.
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у` взодят в уравнение линейно, те в первой степени. если f(x)=0, то ур-ие называется линейным однородным уравнением. если f(x)0, то уравнение называется неоднородным уравнением. Найдем общее решение у`+p(x)y=f(x). Сначала решается соответствующее однородное Ур-ие у`+p(x)y=0. затем делится Ур-ие с у в правую часть с х в левую и интегрируется.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
7. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – уравнение вида
, (10)
где p и q – постоянные действительные числа.
Общее решение такого уравнения, согласно вышеприведенной теореме, есть
, (11)
где – произвольные постоянные, – частные линейно независимые решения уравнения (11).
Определение. Два решения уравнения называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным, т.е. если
. (12)
Частные решения уравнения (11) ищутся в виде
,где k = const,тогда
, .
Подстановка полученных выражений производных в уравнение (11) приводит к характеристическому уравнению
. (13)
Характеристическое уравнение (13) есть квадратное уравнение, имеющее два корня и :
. (14)
В зависимости от значения дискриминанта уравнения возможны три случая.
1. Если D > 0, то корни характеристического уравнения действительны и различны ≠ , тогда частные решения
, ,
общее решение уравнения имеет вид:
.
Если D = 0, то корни характеристического уравнения действительные и равные , тогда частные решения
, ,
общее решение уравнения имеет вид:
3. Если D < 0, то корни характеристического уравнения комплексные, т.е.
, тогда частные решения
, ,
общее решение уравнения имеет вид:
.