Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

1. Количество главных переменных системы равно рангу системы.

2. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

8. Эквивалентные преобразования матриц

1. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на постоянную.

2. Изменение положения некоторой строки (столбца).

3. Замена какой-либо строки (столбца) линейной комбинацией строк или столбцов, включающих исходную строку либо столбец.

4. вычеркивание нулевой строки (столбца).

С помощью эквивалентных (элементарных) преобразований любую матрицу можно привести к треугольной либо трапециевидной форме.

9. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(*)

А=( ) H=

Т. Кронекера-Капелли.

Система ур-ний (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы r(A)=r(H)

Если система совместна, то она имеет единственное решение, если r(A)=r(H)=n и его можно найти методами Крамера или Гаусса.

Если r(A)=r(H)=k<n, то система имеет бесконечно много решений. В этом случае n-k неизвестных обьявляются свободными неизвестными (принимают любые значения), оставшиеся k неизвестных выражаются через эти свободные неизвестные.

 

Однородные системы линейных уравнений

Если в системе (*) все свободные члены равны нулю, то такая система является однородной.

Однородные системы всегда совместны т.к. = = = =0 всегда является решением. Такое решение называется тривиальным.

1) то

2) Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечно много решений

10. Методы решения

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

• Метод Гаусса

• Метод Гаусса — Жордана

• Метод Крамера

• Матричный метод

• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)

• Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

• Метод вращений^[3]

Итерационные методы

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

• Метод Якоби (метод простой итерации)^{[источник не указан 69 дней]}

• Метод Гаусса — Зейделя

• Метод релаксации

• Многосеточный метод

• Метод Монтанте

• Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)

• Метод обобщённых минимальных невязок (англ.)

• Метод бисопряжённых градиентов (англ.)

• Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов (англ.)

• Квадратичный метод сопряжённых градиентов (англ.)

• Метод квази-минимальных невязок (QMR)

11.Основные понятия и свойства

Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом, а другой, то есть B, – концом. Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.

Рисунок 11.1.1. Отрезок AB

Рисунок 11.1.2. Вектор

Рисунок 11.1.3. Вектор

На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок AB, а на рис. 11.1.2 – вектор на рис. 11.1.3 – вектор

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рисунок 11.1.4.

Коллинеарные векторы

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. На рис. 11.1.5 вектор а вектор

Рисунок 11.1.5.

Равенство векторов

Углом между ненулевыми векторами и называется угол BAC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Нулевым вектором  называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Направление нулевого вектора не определено, а его модуль считается равным нулю. Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице.

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .

Приложим вектор к другой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим .

Рассмотрим направленные отрезки и . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора на число называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;

2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;

3. длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального .

12. Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где  — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Модулем или длиной вектора AB называется длина соответствующего направленного отрезка AB и обозначается так |AB|.

Модуль вектора (длина вектора) |

a

| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат Например для вектора

a

=

{a_x; a_y; a_z}