- •Предисловие
- •Введение
- •1. Роль и место прогнозирования при обосновании направления развития систем
- •1.1. Классификация методов прогнозирования
- •1.2. Краткая характеристика методов прогнозирования
- •1.3. Виды прогнозов. Основные термины и определения прогностики
- •2. Прогнозная экстраполяция. Оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов. Точность и достоверность прогноза
- •2.1. Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов
- •2.2. Точность и достоверность прогноза
- •3. Уравнения линеаризуемых трендов и трендов, сводящихся к модифицированной экспоненте
- •3.1. Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду
- •3.2. Парные регрессии, сводящиеся к модифицированной экспоненте
- •3.3. Выбор оптимального вида прогнозной модели
- •3.4. Проверка прогнозной модели на автокорреляцию ошибок
- •4. Многомерное параметрическое прогнозирование. Метод многомерной линейной экстраполяции
- •5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания
- •5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания
- •5.2. Определение параметров прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания
- •5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания
- •6. Вероятностные методы прогнозирования
- •6.1. Приложение теории суммирования случайного числа независимых случайных величин в задачах прогнозирования
- •6.2. Ориентированный процесс случайного блуждания как метод вероятностного моделирования
- •7. Математические модели процессов эволюционного развития техники
- •7.1. Математическое моделирование процессов развития техники
- •7.2. Прогнозная математическая модель динамики замещения
- •8. Экспертные методы прогнозирования. Морфологический анализ. Прогнозирование технического облика образца изделия
- •8.1. Морфологический анализ
- •8.2. Прогнозирование технического облика перспективного образца
- •8.3. Другие методы экспертного прогнозирования
- •3. Метод «мозговой атаки» («мозгового штурма»).
- •9. Методы выявления «сезонной» составляющей в рядах динамики
- •9.1. Выравнивание рядом Фурье
- •9.2. Измерение колеблемости в рядах динамики
- •9.3. Выявление и измерение сезонных колебаний
- •10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода
- •10.1. Обоснование периода упреждения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Приложение 1 Приложение 2 Квантили распределения максимального относительного отклонения
- •Приложение 3 Квантили распределения величины
- •Приложение 4 Приложение 5
- •Приложение 6 Приложение 6
- •Приложение 7
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
7.2. Прогнозная математическая модель динамики замещения
К числу вопросов, результаты исследования которых отражают тенденции развития техники, непосредственно относится прогнозирование скорости, с которой новые образцы техники будут вытеснять предшествующие образцы данного типа. Решение такой задачи представляет собой определение динамики замещения.
В данном случае объектом прогнозирования служит процесс внедрения новой техники, который может описываться изменением в течение времени отношения числа новых образцов (комплексов), в которых применяется новая техника, к суммарному числу образцов (комплексов), где они могут использоваться.
Пусть – некоторая мера распространения новой техники в момент времени (объем распространения);
– верхняя граница объема распространения новой техники на момент времени , выраженная в тех же единицах, что и .
При этом процесс замещения нового оборудования в некоторый момент времени значения
;
при ;
, при
.
Переменную можно назвать кумулятивной, или интегральной, функцией внедрения новой техники, значение которой в начальный момент времени зависит от того, что считать за начало внедрения: начало выпуска первых образцов новой техники или начальное поступление этих систем. В первом случае , в другом . Наиболее естественно первое предположение, хотя в ряде моделей может оказаться необходимым второе допущение.
В общем случае границы области распространения новой техники изменяются с течением времени, причем это изменение не имеет прямого отношения к процессу внедрения как таковому: сфера внедрения изменяется в соответствии с изменением взглядов на применение данного вида техники (задача о долевом участии). Можно считать, что в начальный момент времени значение заметно выше нуля. Изменчивость во времени границ области внедрения может исказить характер собственно процесса замещения, поэтому в ряде случаев вполне вероятно считать эту величину неизменной.
Введем новую переменную, которая обозначает относительное внедрение новой техники в момент времени :
.
При динамические характеристики совпадают с аналогичными характеристиками . Можно считать, что относительная интегральная функция внедрения – монотонно возрастающая функция времени, изменяющаяся в интервале [0, 1]:
;
.
Без существенных искажений реального процесса внедрения можно считать функцию непрерывной и дифференцируемой. Тогда дифференциальная функция внедрения
и дифференциальная относительная функция внедрения
всюду положительные, причем, как правило, к концу периода внедрения их значение монотонно убывает:
при .
Поскольку процесс внедрения имеет верхний предел и есть процесс насыщения потребностей, то целесообразно ввести еще одну переменную, характеризующую скорость приближения процесса к концу – интенсивность внедрения. Эта переменная определяет темп приближения процесса распространения нового к уровню полного насыщения в нем. Она определяется следующим образом:
или
.
Функция насыщения или играет в моделировании динамики замещения центральную роль, так как она определяет конкретный вид функции или .
Несколько изменив последнее выражение, получим
.
Проинтегрировав это уравнение при ранее введенных допущениях, получим
при
и
при , так как .
Интенсивность замещения (функция насыщения) в общем случае может зависеть от самых различных экономических факторов, включая факторы, связанные с уровнем эффективности новой техники и относительным объемом капиталовложений на ее внедрение.
Поэтому функцию можно записать в следующем виде:
,
где – множество экзогенных факторов, определяющих конкретный процесс замещения.
Дальнейший анализ динамики процесса замещения состоит в спецификации вида функции , которую можно проводить исходя из эмпирических зависимостей и теоретических содержательных соображений.
Идентификацию этой функции можно провести, учитывая ее линейное приближение относительно :
,
где – уровень насыщения при ,
– скорость роста функции.
Здесь предполагается, что и не зависят от t, но могут зависеть от экзогенных переменных .
Интегрирование дифференциального уравнения
дает следующую интегральную функцию замещения при :
. (7.1)
Приняв или , можно получить два еще более простых варианта модели, которые чаще всего используются для описания динамики замещения.
При имеем
,
, (7.2)
где , то есть получаем для интегральной функции логистическую кривую. В данном случае в начальный момент времени , что вполне объяснимо с содержательной точки зрения.
При выражение (7.1) будет иметь вид
, (7.3)
то есть процесс замещения следует функции экспоненциального распределения вероятностей.
Из соотношений (7.1) – (7.3) можно получить также аналитические выражения и как функции времени.
Например, для имеем
при ;
при ;
при .
Графически функции (7.1) – (7.3) имеют вид s-образных кривых, что вполне согласуется с подавляющим большинством наблюдаемых данных. При этом интегральные функции замещения имеют точки перегиба , в которых скорость внедрения новой техники имеет максимальное значение.
Для функции (7.1) имеем
; ,
для логистической кривой (7.2)
; ; ; .
s-образный вид кривых позволяет аппроксимировать массив данных, характеризующий реальный процесс распространения новой техники во времени с помощью различных известных функций распределения вероятностей.
Так, например, обобщив функцию насыщения в выражении (7.3) в виде
,
получим интегральную функцию насыщения в виде распределения Вейбулла:
,
которое имеет также точку перегиба
.
Можно использовать и другие вероятностные распределения или иные аналитические зависимости, выражающие процессы с насыщением, имеющие горизонтальные асимптоты. Выбор модели можно осуществить с помощью регрессионного анализа и на основе содержательных соображений.
В качестве иллюстрации анализа динамики замещения используем относительное количество поступающих на рынок новых образцов оружия военной техники (обозначенное на рис. 7.2 ступенчатой линией) на период с 1980 по 2000 г. (всего рассматривалось 156 новых образцов). В данном случае процесс замещения с достаточной точностью аппроксимируется s-образной функцией вида
.
После определения параметров модели получаем зависимость
,
позволяющую (см. рис. 7.2) прогнозировать динамику замещения, высокая сходимость s-образной кривой с фактическими результатами свидетельствует о том, что предлагаемая модель пригодна для практического использования.
m(t),%
t,
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
40
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1990
1995
2000
2005
2010