- •Предисловие
- •Введение
- •1. Роль и место прогнозирования при обосновании направления развития систем
- •1.1. Классификация методов прогнозирования
- •1.2. Краткая характеристика методов прогнозирования
- •1.3. Виды прогнозов. Основные термины и определения прогностики
- •2. Прогнозная экстраполяция. Оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов. Точность и достоверность прогноза
- •2.1. Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов
- •2.2. Точность и достоверность прогноза
- •3. Уравнения линеаризуемых трендов и трендов, сводящихся к модифицированной экспоненте
- •3.1. Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду
- •3.2. Парные регрессии, сводящиеся к модифицированной экспоненте
- •3.3. Выбор оптимального вида прогнозной модели
- •3.4. Проверка прогнозной модели на автокорреляцию ошибок
- •4. Многомерное параметрическое прогнозирование. Метод многомерной линейной экстраполяции
- •5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания
- •5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания
- •5.2. Определение параметров прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания
- •5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания
- •6. Вероятностные методы прогнозирования
- •6.1. Приложение теории суммирования случайного числа независимых случайных величин в задачах прогнозирования
- •6.2. Ориентированный процесс случайного блуждания как метод вероятностного моделирования
- •7. Математические модели процессов эволюционного развития техники
- •7.1. Математическое моделирование процессов развития техники
- •7.2. Прогнозная математическая модель динамики замещения
- •8. Экспертные методы прогнозирования. Морфологический анализ. Прогнозирование технического облика образца изделия
- •8.1. Морфологический анализ
- •8.2. Прогнозирование технического облика перспективного образца
- •8.3. Другие методы экспертного прогнозирования
- •3. Метод «мозговой атаки» («мозгового штурма»).
- •9. Методы выявления «сезонной» составляющей в рядах динамики
- •9.1. Выравнивание рядом Фурье
- •9.2. Измерение колеблемости в рядах динамики
- •9.3. Выявление и измерение сезонных колебаний
- •10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода
- •10.1. Обоснование периода упреждения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Приложение 1 Приложение 2 Квантили распределения максимального относительного отклонения
- •Приложение 3 Квантили распределения величины
- •Приложение 4 Приложение 5
- •Приложение 6 Приложение 6
- •Приложение 7
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода
Одной из важнейших задач прогнозирования является повышение точности расчетов. Критерием точности может служить средняя ошибка прогноза, вычисляемая по формуле
, (10.1)
где – фактические уровни временного ряда;
– прогнозируемые уровни временного ряда;
n – период предыстории (n=1, 2, . . . , N);
l – прогнозируемый период (l=N+1, N+2, …, T).
Как известно, точность прогноза зависит как от длины периода предыстории, так и от величины прогнозируемого периода. Поэтому можно построить модель, характеризующую зависимость средней ошибки прогноза от двух параметров n и l:
. (10.2)
Процедура построения модели (2) осуществляется следующим образом. Весь временной ряд t (t=1, 2, ..., Т) разбивается на две части: первая – n(n=1,2,...,N) принимается за период предыстории, вторая – l(l=N+1, N+2, ..., Т) – за прогнозируемый период. Для периода n строится модель прогноза , по которой прогнозируются уровни временного ряда yt на период l. С этой целью в полученное уравнение модели прогноза последовательно подставляют значения t, равные N+1, N+2,..., Т, то есть порядковые номера лет периода прогноза, и получают прогнозируемые уровни временного ряда на период l. По существу, мы осуществляем ретроспективный прогноз. Поскольку фактические значения временного ряда за период l известны, можно определить величину средней ошибки прогноза за этот период. Далее период предыстории увеличивается на один момент времени, то есть его длина становится (n+1), а период прогнозирования тем самым уменьшается на единицу. Для временного ряда длиной (n+1) строится модель прогноза, по которой осуществляется прогнозирование на период l–1, то есть на N+2,N+3,..., T, и находится средняя ошибка прогноза. Такая процедура повторяется до тех пор, пока прогнозируемый период не будет равен нескольким моментам времени, по которым еще можно будет проверять ретроспективный прогноз1. В результате, можно построить таблицу, в которой будут содержаться данные для построения модели зависимости средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и величины прогнозируемого периода.
Таблица 10.1. Данные для построения модели
Средняя ошибка прогноза |
Величина периода предыстории n |
Величина прогнозируемого периода l |
|
|
|
Вышеописанный метод проиллюстрируем на примере временного ряда выпуска цемента в СССР за период с 1950 по 1971 г. (табл. 10.2 гр. 3):
– средняя ошибка аппроксимации 9,1 10,8 12,4 12,8 12,7 12,9 13,4;
– средняя ошибка прогноза 19,4 15,9 12,4 10,6 9,9 8,0 5,1.
Таблица 10.2. Определение средней ошибки периода
Годы |
t |
Выпуск цемента (млн.т) |
Относительные ошибки аппроксимации и прогноза в процентах |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
10,2 12,1 13,9 16,0 19,0 22,5 24,9 28,9 33,3 38,8 45,5 50,9 57,3 61,0 64,9 72,4 80,0 84,8 87,5 89,7 95,2 100,3 |
+30,0 +13,0 -0,2 -8,2 -9,0 -7,1 -10,4 -6,9 -2,8 +3,0 +9,7 +12,6+ +16,6 +16,1 +15,9 +19,9 +23,3 +23,6 +22,1 +20,2 +21,0 +21,8 |
+38,1 +17,8 +2,2 -7,7 -9,0 -8,9 -13,1 -10,0 -6,4 -0,7 +6,1 +8,9 +12,7 +12,1 +11,7 +15,9 +19,3 +19,6 +17,9 +15,8 +16,9 +17,4 |
+46,8 +23,8 +5,1 -6,7 -10,3 -10,4 -15,3 -12,8 -9,5 -4,0 +2,8 +5,5 +9,2 +8,4 +7,9 +12,2 +15,6 +15,8 +13,9 +11,7 +12,8 +13,4 |
+52,5 +26,5 +7,2 -5,8 -10,3 -11,0 -16,5 -14,3 -11,3 -5,9 +0,8 +3,4 +7,2 +6,2 +5,7 +9,9 +13,4 +13,6 +11,7 +9,3 +10,3 +10,9 |
56,4 +29,2 +8,7 -5,0 -10,1 -11,3 -17,1 -15,2 -12,3 -7,0 -0,3 +2,2 +6,0 +4,9 +4,3 +8,6 +12,1 +12,1 +10,2 +7,8 +8,8 +9,4 |
+62,6 +33,3 +11,4 -3,6 -9,6 -11,5 -17,8 -16,3 -13,7 -8,5 -1,9 +0,6 +4,2 +3,1 +2,3 +6,6 +10,1 +10,3 +8,1 +5,6 +6,6 +7,1 |
+70,4 +38,6 +14,8 -1,6 -8,8 -11,5 -18,5 -17,4 -15,1 -10,2 -3,6 -1,3 +2,3 +1,0 +0,1 +4,4 +7,9 +8,0 +5,7 +3,1 +4,1 +4,6 |
Весь период в 22 года был разбит на две равные части, то есть n=11; l=11. Затем для отрезка исследуемого ряда за период с 1950 г. по 1960 г. была построена линейная модель
. (10.3)
Подставляя в это уравнение порядковые номера последующих лет (t=12,13, .., 22), получаем относительные ошибки прогноза для каждого года на период c 1961 г. по 1971 г. по формуле
. (10.4)
По формуле (10.1) находится средняя ошибка прогноза для этого отрезка временного ряда. Относительные ошибки прогноза и средняя ошибка прогноза представлены в табл. 10.2, гр. 42. Далее период предыстории был увеличен до 12 лет (1950 – 1961 гг.), построена модель прогноза
; (t=1,2,…,12) (10.5)
и осуществлена экстраполяция на период 1962 – 1971 гг., в результате которой были определены относительные ошибки прогноза по годам и средняя ошибка прогноза (табл. 10.2, г.р.2).
Модели прогноза для всех проделанных этапов представлены в табл. 10.3, а в табл. 10.2 – величины относительных и средних ошибок аппроксимации.
Таблица 10.3. Модели прогноза по этапам прогнозирования
Период предыстории (годы) |
Период прогноза (годы) |
Уравнения для моделей прогноза |
1950—1960 (11 лет) |
1961—1971 (11 лет) |
yt = 3,744+3,393t |
1950-1961 (12 лет) |
1962—1971 (10 лет) |
yt = 2,670+3,641t |
1950—1962 (13 лет) |
1963—1971 (9 лет) |
уt= 1,546+3,881t
|
1950—1963 (14 лет) |
1964-1971 (8 лет) |
yt = 0,815+4,027t
|
1950—1964 (15 лет) |
1965—1971 (7 лет) |
уt = 0,326+4,119t
|
1950—1965 (16 лет) |
1966—1971 (6 лет) |
yt = -0,445+4,255t
|
1950—1966 (17 лет) |
1967—1971 (5 лет) |
yt = -1,39.8+4,414t |
В результате проделанных расчетов была получена информация для построения модели, характеризующей зависимость средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и прогнозируемого периода (табл. 10.4).
На основании данных табл. 10.4 была построена модель зависимости средней ошибки прогноза от периода предыстории и периода прогноза:
. (10.6)
Таблица 10.4.Средние ошибки прогноза и величина периода предыстории и прогнозируемого периода
Средняя ошибка прогноза |
Период предыстории n (лет) |
Период прогноза l (лет) |
19,4 13,9 12,4 10,6 9,9 8,0 5,1 |
11 12 13 14 15 16 17 |
11 10 9 8 7 6 5 |
Коэффициент множественной корреляции, равный 0,981, указывает на довольно тесную связь между средней ошибкой прогноза и обоими факторами. Вариация средней ошибки прогноза на 96,2 % объясняется колеблемостью периода предыстории и прогнозируемого периода, о чем свидетельствует величина коэффициента множественной детерминации (R2 = 0,962).
Это уравнение показывает, что увеличение периода предыстории на один год снижает ошибку прогноза на 441 %. В то же время увеличение прогнозируемого периода на один год ведет к увеличению средней ошибки на 1,741 %.
Итак, точность прогноза объясняется совместным влиянием периода предыстории и периода прогноза.